广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）微分中值定理及其应用 拉格朗日定理和函数的单调性

微分中值定理及其应用 目的 掌握理解几个中值定理的内容实质熟练掌 握驾出法如求种不式限的方浅 会利用导数求极值证明不等式判别函数 的单调 凹凸性。 重点难点: 罗比塔法则运用,泰勒定理

微分中值定理及其应用 目的: 掌握理解几个中值定理的内容实质,熟练掌 握罗比塔法则求各种不定式极限的方法, 会利用导数求极值, 证明不等式, 判别函数 的单调性、凹凸性。 重点难点： 罗比塔法则运用，泰勒定理

微分中值定理 吸其应用

微分中值定理 及其应用

微分中值定理及其应用 x无法显示该图片。 在前十章我们介绍了函数的导数以及微分的 既念求导数微分的运算法则.我们知道函数 在一点的导数反映的是函数在该点处关于 自变量的变化率几何上表现为在平面曲线 上x点处曲线的切线的斜率数学分 析的研究对象是变量与变量之间相互变化的 依赖关系-函数

微分中值定理及其应用 0 x 在前一章,我们介绍了函数的导数以及微分的 概念,求导数微分的运算法则. 我们知道函数 在一点 的导数反映的是函数在该点处关于 自变量的变化率,几何上表现为在平面曲线 上一点 处曲线的切线的斜率. 数学分 析的研究对象是变量与变量之间相互变化的 依赖关系---函数. 0 x y = f (x) (x, y)

这一章我们来讨论如何利用导数的已知性质 来推断函数的性质包括函数的单调性、极值、 凹凸性以及求不定式的极限等在微分概念基 础上建立的微分中值定理是我们进行这些讨 论的有效工具

这一章我们来讨论如何利用导数 的已知性质 来推断函数 的性质,包括函数的单调性、极值、 凹凸性以及求不定式的极限等.在微分概念基 础上建立的微分中值定理是我们进行这些讨 论的有效工具. f ' f

第一节拉格朗日定理和 函数的单调性 间题如果函数y=f(x)在x0可微,则有函数改变量、自 变量改变量以及函数导数之间的关系 f(x)-f(x)≈f(x)x-x0) 此,要求和o之间距离很世,是否可以将上述 公式中的近似等式变成严格等式,而且取掉自变量改变 量很小的限制?即将这里的局部性质变成整体性质,如果 要能这样作,对函数需要什么要求?导数应是何初的值?

第一节 拉格朗日定理和 函数的单调性 问题1. 如果函数 在 处可微, 则有函数改变量、自 变量改变量以及函数导数之间的关系 此时, 要求 和 之间距离很小, 是否可以将上述 公式中的近似等式变成严格等式, 而且取掉自变量改变 量很小的限制？即将这里的局部性质变成整体性质，如果 要能这样作，对函数需要什么要求？导数应是何初的值？ y = f (x) x0 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x − f x  f  x x − x x x0

间题2,.常量函数的导数处处为零,导数 处处为零的函数一定是常数吗? 间题3.函数(x)在点x可导,则有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x)+0(x-x) 即在x附近,用一次多项式 f(x0)+f(x0)(x-x0)

• 问题2. 常量函数的导数处处为零, 导数 处处为零的函数一定是常数吗? • 问题3. 函数 在点 可导, 则有 即在 附近,用一次多项式 f (x) 0 x ( ) ( ) '( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f x x − x + o x − x x0 ( ) '( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x

逼近函数(x)时,其逼近误差为(x-x0) 的高阶无穷小量.那么,当(x在x0满足什 么条件时,可以用一个次多项式逼近它, 面且误差为(xx)的高阶无穷小量?

• 逼近函数 时,其逼近误差为 的高阶无穷小量. 那么,当 在 满足什 么条件时, 可以用一个 次多项式逼近它, 而且误差为 的高阶无穷小量? f (x) ( ) 0 x − x f (x) 0 x n n (x x ) − 0

间题4.对于函数求极限,如果其分子、分母 的极限均为零或均为无穷大时,不能再利 用除法公式进行计算。但我们知道导数存 在时,导数定义中的求导正是处理分子分母 极限均为零时的一种特殊商函数的极限,对 于一般情形,求极限可否借助于导数来计算?

• 问题4. 对于函数求极限,如果其分子、分母 的极限均为零或均为无穷大时，不能再利 用除法公式进行计算。但我们知道导数存 在时, 导数定义中的求导正是处理分子分母 极限均为零时的一种特殊商函数的极限, 对 于一般情形, 求极限可否借助于导数来计算?