广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）20.2 对坐标的曲线积分

第二节对坐标的曲线积分 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 四、小结思考题 帮助返回

王一、问题的提出 实例:变力沿曲线所作的功 L:A→>B, M M A F(x,y=P(x, y)i +o(,yio 上常力所作的功W=F,AB 王分割A=M1,M(x,),M1(x,)M,=B 庄M2M2=x)+(4y万 上或

o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i x i 实例: 变力沿曲线所作的功 y L: A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  W = F  AB

王取F(,m)=P(5,m)2+Q(5,n),1mF Ayi △W1≈F(51,m)M1M1, L/M△x 即△W≈P(51,)x2+Q(5,m)Ay,° 求和W=∑△W 近似值 ≈∑|P(5,m,)Ax+Q(5,m)4小 取极限W=Iim∑P(5,)Ax1+Q(6,mn)△ i=1 精确值 上或

求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 =    +   ni i i i i i i P   x Q   y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → =   +   ni i i i i i i W P   x Q   y  近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y = =  ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y

生二、对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xoy面内从点4到点B的一条有 向光滑曲线弧函数P(x,y),Q(x,y)在L 上有界.用L上的点M1(x1,y),M2(x2,y2), …,Mn1(xn,n肥把L分成n个有向小弧段 王MM(=12“,M2=A,M2=B 王设=x-x,4=一m…点,n为 M1M1上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→>0时, 上或

二、对坐标的曲线积分的概念 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有  →  = −  = −   = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B   1.定义

王∑(5,n)△x的极限存在,则称此极限为函 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分,记作 P(x, y)dx=lim L →>0 ∑P(5,m)△x 类似地定义「Q(x)d=m∑Q5Ay i=1 其中P(x,y,Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段 上或

( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x =      = → =      积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y  = →    其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段

2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 「P(x)d+(x,n) Px,+F面 其中F=P+,凼=+dy 上或

2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式    = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj.      其中 = + = + .  =  L F ds 

4推广 空间有向曲线弧r[P+Q小+Rh 压x)k地 庄syx3)=如∑0) i=1 R(x, y, z)d=lim 久→>0 ∑R(,n, i=1 上或

4.推广 空间有向曲线弧  ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x  =  →     .  Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q    y  =  → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R    z  =  →

5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 「Pd+gd=[P+Q+P+h (2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的 有向曲线弧则 庄』P(xD+Qx,)h=JP(x,+x 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 上或

5.性质 . (1) , 1 2 1 2    + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.  + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

生三、对坐标的曲线积分的计算 王定理设Px(x在曲线孤上有定义且连 续,L的参数方程为 ∫x=(当参数单调地由a变 =y() 庄到时点M(x从的起点沿运动到终点B (2y()在以a及为端点的闭区间上具有阶连 续导数且g2(t)+y(1)≠0,则曲线积分 P(x,y)dx+Q(x,y)小存在, 上或

三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连  +  +      = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L           定理

P(x, y)dx+e(x, y)dy 生(0)yomo)m 特殊情形 王(∠:y=(x)x点为,终点为b 牛则.Pa+d=!{Px,y(x)+,y(x)p(x)lt (2:x=x0):点为a,终点为M 则∫P+b!P以m()+xy 上或

P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , )         =  +  +  且 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = +  (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + =  +