西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六讲 §3.7 解析函数与调和函数的关系 §4.1 复数项级数 §4.2 幂级数

第六讲 解析函数与调和函数的关系

第六讲 解析函数与调和函数的关系

§3.7解析函数与调和函数的关系 内容筲介 在§3.6我们证明了在D内的解析函数其导数 仍为解析函数所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系

在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。 内 容 简 介 §3.7 解析函数与调和函数的关系

定义若二元实变函数p(x,y)在D内具有二阶连 续偏导数且满足 aplace方程: 0g,02q=0 (△q=0) ax ay 则称p(x,y)为D内的调和函数 定理若f(x)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析 →u=(x,y),v=v(x,y)是D内的调和函数

( , ) . 0 0) : ( , ) 2 2 2 2 则 称 为 内的调和函数 即 （ 续偏导数且满足 方 程 若二元实变函数 在 内具有二阶连 x y D x y Laplace x y D      =  =   +   定义 ， 是 内的调和函数。 若 在区域 内解析 u u x y v v x y D f z u x y i v x y D ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )  = = 定理 = +

证明:设f(z)=u(xy)+iν(xy)在区域D内解析,则 ou ay au 由C-R方程 ax ay ay 从而有 ou ay au a ax axo 由解析函数高阶导数趙理里→l(x,y),v(x,y) 具有任意阶的连续导数 day ayax 故在D内有 0g20,同理有0"0y 02u02u 0 ax ay

证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 x v y u y v x u C R   = −     =   由 − 方 程 x y v y u y x v x u    = −      =   2 2 2 2 2 2 从而有 y x v x y v u x y v x y    =      2 2 . ( , ), ( , ) 具有任意阶的连续导数 由解析函数高阶导数定理 D 0, 2 2 2 2 =   +   y u x u 故在 内有 0 2 2 2 2 =   +   y v x v 同理有

即及在D内满足拉普拉斯 laplace)方程: 020 △=0,Aν=0其中Δ≡2+A =u(x,y,v=v(x,y)是D内的调和函数 定义设u(x,y)为D内的调和函数称使得u+iv 在D内构成解析函数的调利函数v(x,y)为u(x,y) 的共轭调和函数

u = 0, v = 0 2 2 2 2 x y  +   其中  即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: u = u(x, y)，v = v(x, y)是D内的调和函数。 . D ( , ) ( , ) ( , ) , 的共轭调和函数 在 内构成解析函数的调和函 数 为 设 为 内的调和函数称使得 v x y u x y 定义 u x y D u + i v

上面定理说明: D内解析函数的虚部是郊部的共轭调和函数 即,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析→ 在D内v(x,y)必为=(x,y)共轭调和函数 由解析的概念得: 在D内满足C一R方程:2=v,uy=一v的两个 调和函数,v,y必为u的共轭调和函数 现在研究反过来的问题:若u,"是任意选取的在 区域D内的两个调和函数则u+i在D内就不 一定解析

上面定理说明： D内解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. ( , ) ( , ) . , ( ) ( , ) ( , ) 在 内 必 为 的共轭调和函数 即 在 内解析 D v x y u u x y f z u x y i v x y D = = +  由解析的概念得： , , . : , 调和函数 必 为 的共轭调和函数 在 内满足 方 程 的两个 u v v u D C R u v u v − x = y y = − x . , , 一定解析 区 域 内的两个调和函数则 在 内就不 若 是任意选取的在 D u i v D u v + 现在研究反过来的问题：

如v=x+y不是n=x+y的共轭调和函数 (∵∫(z)=u+i=(x+y)+i(x+y)在z平面上 处处不解析=1=vnu1=1≠-v) 要想使u+i在D内解析,u及v还必须满足C-R 方程,即ν必须是n的共轭调和涵数由此, 已知一个解析函数的部a(x,y),利用C-R方 (虚部(x,y) 程可求得它的虚部(x,y),从而构成解析函数 L+L1。 (实部(x,y)

如 v = x + y不是u = x + y的共轭调和函数. 1 1 ) ( ) ( ) ( ) x y y x u v u v f z u i v x y i x y z = = =  − = + = + + + 处处不解析 （ 在 平面上 方程，即 必须是 的共轭调和函数由此， 要想使 在 内解析 及 还必须满足 . , v u u + i v D u v C − R . ( , ), ( , ), u i v v x y u x y C R + − 程可求得它的虚部 从而构成解析函数 已知一个解析函数的实部 利 用 方 (虚部v(x, y)) (实部u(x, y))

设D一单连通区域u(x,y)是区域D内的调和 ou au 函数则,+ 0 ax a 2 即,-如n、如在D内有连续一阶偏导数 y or 6 且 av a axax av av 彐p =-hx+ ax ay 中=dv(x,p) Oy ax x, y) au v(x,y) d x ou dv+C (*) 0y0 ax

, 0 , ( , ) 2 2 2 2 =   +   y u x u D u x y D 函 数 则 设 一单连通区域 是区域 内的调和 即 、 在D内有连续一阶偏导数 x u y u     , − dy x u dx y u dy y v dx x v x u y x u y   +   = −   +       =   −   且 ( ) ( ) dv(x, y) v = ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 +    +   = −  dy c x u dx y u v x y x y x y

au au av 0 ux 满足C-R方程 ax ay ay u+iv在D内解析. 定理设u(x,y)在单连通D内调和函数 则(*)式所确定的v(x,y)使得 f(z)=u+i在D内解析

. . 在 内解析 满 足 方 程 u i v D C R x u y v y u x v  + −   =     = −    ( ) . ( ) ( , ), ( , ) , 在 内解析 则 式所确定的 使 得 设 在单连通 内调和函数 f z u i v D v x y u x y D = +  定理

公式不用强记!可如下推出 已知:u(x,y),求其共轭调和函数(x,y): 0p.C-R方程 由ly= dx+ dy ax J 然后两端积分。 0p.C-R方程Ou 由du=axay dx+dy ax 类似地,然后两端积分得

 公式不用强记！可如下推出： dy x v dx y v dy y v dx x v du C R   −   =   +   = − 方 程 由 然后两端积分。 由 已知： 求其共轭调和函数 方 程 dy u dx u dy y v dx x v dv u x y v x y y x C R = − +   +   = − ( , ), ( , ): 类似地， 然后两端积分得