广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）20.1 对弧长的曲线积分

第一节对弧长的曲线积分 一、问题的提出 二、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长的曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结思考题 帮助返回

庄、问题的提出 B L yM 实例:曲线形构件的质量 5,n7)M 匀质之质量M=ps 4 M i-1 王分删M,M,,M1→2△,0 取(51,m)∈As,△M1≈p(5,m):△ 求和M5,m)△y 近似值 i=1 精确值 取极限M=im∑p(5,m)△s 1→0 i=1 上或

一 、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , )  i i L 匀质之质量 M =   s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s  − ( , ) , i i i 取    s ( , ) . i i i i M      s 求和 ( , ) . 1 =    n i i i i M    s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → =   n i i i i M    s  近似值 精确值

生二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xo面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,M,把L分成n 上个小段设第个小段的长度为,又(2,m第 王价小段上任意职定的一点, B 作乘积( ,m)△s L M (5,m)/M M 并作和(,m)△, A M 0 上或

二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = −            n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数  1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i  L

如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分记作,(x,k,即 被积函数 (xD)=m∑/(5,n),△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=p(x,y)d 上或

( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1  0  = → =      → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) .  = L M  x y ds

2存在条件 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分Jf(x存在 3推广 王函数f(x,y在空间曲线弧r上对弧长的 中曲线积分为 f(xn,2=1im2(5,,)△ 上或

2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds =  f  s  =  →    

注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2) 王.)/)+/5y 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为(x 上或

注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2    = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的

4性质 王①DJU(x)8yh()8(x (2)6f(x,y)=kf(x,y)s(k为常数 L (/(xy)=)+(x (L=L+L2) 上或

4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .     =  L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2

三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=( (a≤t≤B)其中 ∪y=v(t), 王(.y(0a,/上具有一阶连续导数,且 B f(x,y)=Jlp(t),y()、92(t)+u"()t (a<B) 上或

三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2                  =  +       = =   f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续

注意 1.定积分的下限a一定要小于上限6 中2.fxy)中xy不彼此独立而是相互有关的 王特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. b <b) f(x,y)ds=fIx, v(x)N1+v2(x)dr(a< 上或

注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a  x  b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a =  + (a  b)

(2)L:x=q(y)c≤y≤d d f(x,y)=」(yy1+(y (c<d) 中推广:r:x=q(),y=v(t,z=0().(a≤t≤B) f∫(x,y,z)ds =SI(), w(),o("0+(+0"(de (a<B) 上或 圆

推广:  : x = (t), y =(t), z =(t). (  t   ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2            =  +  +    f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c  y  d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c =  +  (c  d )