西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二讲 复变函数与解析函数

第二讲复变函数与解析函数

第二讲 复变函数与解析函数

§5复变函数 1.复变函数的定义 2.映射的概念 3.反数或逆映射

 1. 复变函数的定义  2. 映射的概念  3. 反函数或逆映射 §5 复变函数

1.复变数歉的定义与实变函数定义相类似 定义 设G是一个复数=x+ij的非空集合存在法则 f,使得z∈G,就有一个或几个=+i与之对应 则称复变数是复变数的函数(简称复变函数 记作w=∫(z) 若x→一个v值,称f(z)是单值函数 z→多个v值,称(x)是多值函数 今后无特别声明,所讨论的函数均为单值函数

1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似 定义 ( ). , , , , w f z w z f z G w u i v G z x i y =   = + = + 记 作 则称复变数 是复变数 的函数（简称复变函数） 使 得 就有一个或几个 与之对应 设 是一个复数 的非空集合 存在法则  多 个 值，称 是多值函数. 若 一 个 值，称 是单值函数; ( ) ( ) z w f z z w f z → → 今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数

G一∫(z的定义集合,常常是区域(定义域 G={ww=f(z),∈G}-函数值集合 z=x+>(x,y);w=W+i4>(u2y) w=f(a)=f(+iy) =u(x,y)+ⅳiv(x,y) 故u=u(x,y)p=v(x,y) AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA w=f(3=u+iv>u=u(x,y) v=v(x, y) brvyyyry

G— f (z)的定义集合，常常是平面区域（定义域） G * = {w w = f (z) ,z G}—函数值集合 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ); ( , ) u x y i v x y w f z f x i y z x i y x y w u i v u v = +  = = +  = +  = +  故 u = u(x, y) v = v(x, y) w = f (z) = u + i v  u = u(x, y) v = v(x, y)

例1形=z2令z=x+=u+i 则w=(u+iv)=(x+iy)2=x J+ xvi w=% u=x-y v=2xy 例2若已知f(x)=x1+-2 x2+m1-1 r ty 将f(z)表示成z的函数 设x=x+,则。1 (+k)sy 2i ∫(xz)=x+

w u i v x i y x y xyi w z z x i y w u i v ( ) ( ) 2 2 2 2 2 = + = + = − + = = + = + 则 例1 令 w z u x y v 2xy 2 2 2  =  = − = 例2         + + −         + = + 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 x y i y x y 若已知 f z x 将 f (z)表示成z 的函数. z f z z 1 ( ) = + ( ) 2 1 ( ), 2 1 , z z i 设z = x + i y 则x = z + z y = −

2.哄射的概念—复变函数的几何意义 在几何上,w=f(2)可以看作: z∈G(z平面)"(w∈G(w平面)的映射变换 定义域 函数值集合 称为的象点映象,而z称为的原象。 会会 G G w=f(z) 0

o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上， w=f(z)可以看作： ( ) ( ( ). z G z平 面 ⎯w ⎯= f ⎯(z) → w G * w平面）的映射变 换 称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。 定义域 函数值集合 2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 z w=f(z) w

复变函数的几何意义是一个映射(变换) 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量u,v与x,y 之间的对应关系,以便在研究和理解复变 函数问题时,可借助于几何直观 以下不再区分函数与映射(变换)

以下不再区分函数与映射（变换）。  在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观. •复变函数的几何意义是一个映射（变换）

例3研究=2所构成的映射 解设z=r(cos日+isin)=re .Z=re 关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2 例4研究w=e"z(a实常数)所构成的映射 解设z=re0∴w=eaz=ere=re(a+o) w=u+iv=(cos a +isin)(x+iy) (xcosa-ysina)+i(sina + ysina) Ep u=rcosa-ysina v=sina t usina 旋转变换(映射)见图2

例3 研究w = z 所构成的映射.     i i z re z r i re −  = 解 设 = (cos + sin ) = —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2 —旋转变换(映射) ( cos sin ) ( sin sin ) 即 ， (cos sin )( )       x y i x y w u i v i x i y = − + + = + = + + ➢见图2 研 究 (实常数）所构成的映射.  w e z i 例4 =     (+ ) =  = = = i i i i i 解 设z re w e z e re re    = + = −     sin sin cos sin v x y u x y

0 图11 (z)、(w) y、p1(a,、() x、L 0 x u 图1-2 图2

o x y (z) x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o  图1-1 图1-2 图2 u v (w) o

例5研究=z2所构成的映射 2 W=Z 2a 0 2 丌w=z W=Z

. 例5 研究w = z 2 所构成的映射 o x y (z) o u v (w) 2  o x y (z) o u v (w) 6  3  4 2 2 x − y = 2 w = z 2 w = z 2 w = z 2 w = z