《数值计算方法》分段低次插值

§5分段低次插值 5-1多项式插值的问题 前面根据区间[a,b上给出 的节点做插值多项式L(x) 近似f(x),一般总认为L1(x)的次数 n越高逼近(x)的精度 越好,但实际上并非如此。这是 因为对任意的插值节点 ,当n>∞时,L(x)不一定收敛 到f(x),本世纪初龙格 ( Runge)就给出了一个等距节 点插值多项式L(x)不收 敛的f(x)的例子。他给出的函数 为f(x)=1(1+x)。它在[-5,5

§5 分段低次插值 5-1 多项式插值的问题 前面根据区间 [a, b] 上给出 的节点做插值多项式 L (x) n 近似 f (x) ，一般总认为 L (x) n 的次数 n 越高逼近 f (x) 的精度 越好，但实际上并非如此。这是 因为对任意的插值节点 ，当 n → 时， L (x) n 不一定收敛 到 f (x) ，本世纪初龙格 （Runge）就给出了一个等距节 点插值多项式 L (x) n 不收 敛的 f (x) 的例子。他给出的函数 为 ( ) 1/(1 ) 2 f x = + x 。它在 [−5, 5]

上各阶导数均存在,但在[5,5] 上取n+1个等距节点 k k=-5+10n(=0,1…n)所构 造的拉格朗日插值多项式 Ln(x)=∑ n+1 /=01+x2(x-xbm1(x,) 当n->∞时,只在x≤363内 收敛,而在这区间外是 发散的

上各阶导数均存在，但在 [−5, 5] 上取 n +1 个等距节点 5 10 (k 0, 1, , n) n k xk = − + =  所 构 造的拉格朗日插值多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 0 j n j n j n j n x x x x x L x + + = + −  =    . 当 n → 时，只在 x  3.63 内 收敛，而在这区间外是 发散的

0.5 因此随着插值结点数增加, 插值多项式的次数也相 应增加,而对于高次插值容易带 来剧烈振荡,带来数值不 稳定。为了既要增加插值结点, 减小插值区间,以便更好 的逼近被插值函数,又要不增加

因此随着插值结点数增加， 插值多项式的次数也相 应增加，而对于高次插值容易带 来剧烈振荡，带来数值不 稳定。为了既要增加插值结点， 减小插值区间，以便更好 的逼近被插值函数，又要不增加

插值多项式的次数以减 误差,可以采用分段插值的办法。 5-2分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过 插值点用折线段连接起 来逼近f(x)。设已知节点 a=x<x1<∷<X n=b上的函数 值 0 f1,…,fn 记 h 二k+1 h=maxh,求一折线函 数l(x)满足: 1°记I(x)∈C[a,b], (xk)=f(=0,1…n), 3°1(x)在每个小区间

插值多项式的次数以减少 误差，可以采用分段插值的办法。 5-2 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过 插值点用折线段连接起 来逼近 f (x) 。设已知节点 a x x x b = 0  1  n = 上的函数 值 n f , f , , f 0 1  ， 记 1 , max k k k k h x x h h = − = + ，求一折线函 数 I (x) h 满足： 1° 记 I (x) C[a, b] h  ， 2 ° I (x ) f (k 0, 1, , n) h k = k =  ， 3 ° I (x) h 在 每 个 小 区 间

xk,xk+]上是线性函数, 则称l(x)为分段线性插值函数 x2x3…xn-1xn 由定义可知1(x)在每个小 区间[xk,xk41上可表示为 X-X k1-1(x<x≤x k+1 kk+ 若用插值基函数表示,则在 整个区间[a,b上为

[ , ] k k+1 x x 上是线性函数， 则称 I (x) h 为分段线性插值函数。 由定义可知 I (x) h 在每个小 区间 [ , ] k k+1 x x 上可表示为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 + + + + +   − − + − − = k k k k k k k k k k h f x x x x x x x f x x x x I x 若用插值基函数表示，则在 整个区间 [a, b] 上为 x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn Y X

h(x)=∑fl(x) 其中基函数l(x)满足条件 (xk)=6k(1,k=01…,n) 其形式是 X-x ,x1≤x≤x,(j=0略去 X-x l,(x) x,≤x≤x1(j=n略去 x:-X 0 x∈[a,b],xg[x12x1+] 分段线性插值基函数l(x)只 在x附近不为零,在 其它地方均为零,这种性质称为

( ) ( ) 0 I x f j l j x n j h = = 其 中 基 函 数 l (x) j 满足条件 l (x ) ( j, k 0, 1, , n) j k =  j k =  ， 其形式是 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( 0 ); ( ) , ( 0 [ , ], [ , ]. j j j j j j j j j j j j j x x x x x j x x x x l x x x x j n x x x a b x x x − − − + + + − +  −    = −    − =   =  −       略去 略去）; ， 分段线性插值基函数 l (x) j 只 在 x j 附近不为零，在 其它地方均为零，这种性质称为

局部非零性质。 例:已知函数y=/(x) 1+ 在 [0,5]上取等距节点 x=0+i(i=0,1…,5)。求分段插值 函数,及∫(4.5)近似值。 解: 3 y .0000010.500000200000100 分段线性插值基函数为: x-I+ x∈[i-1,i](i≠0) 1(x)={-(x-1-1)x∈[i+1(t≠5) x∈[0,i-1)∪(i+1,5 分段线性插值函数为:

局部非零性质。 例：已知函数 2 1 ( ) 1 y f x x = = + ，在 ［0, 5］上取等距节点 0 ( 0,1, ,5) i x i i = + = 。求分段插值 函数，及 f (4.5) 近似值。 解： xi 0 1 2 3 2 1 1 i y x = + 1.00000 0.50000 0.20000 0.10000 分段线性插值基函数为： 1 [ 1, ] ( 0) ( ) ( 1) [ , 1] ( 5) 0 [0, 1) ( 1,5] i x i x i i i l x x i x i i i x i i  − +  −   = − − −  +      − + 分段线性插值函数为：

1h(x)=l0(x)+0.500001(x)+0.2000012(x) +0.1000073(x)+0.05882/4(x)+0.03846/5(x f(4.5)≈h(4.5)=0.058824(4.5)+0.0384615(4.5) 0.05882×0.5+0.03846×0.5=0.04 精确值为∫(45)=0.04706。 收敛性证明: x∈|x,,x 时 ∑l(x)=lk( k(r)+L k+1 故 f(x)=[k(x)+h1(x)f(x) 另一方面,这时

0 1 2 345 ( ) ( ) 0.50000 ( ) 0.20000 ( ) 0.10000 ( ) 0.05882 ( ) 0.03846 ( ) h I x l x l x l x l x l x l x = + + + + + 4 5 (4.5) (4.5) 0.05882 (4.5) 0.03846 (4.5) 0.05882 0.5 0.03846 0.5 0.04864 h f I l l  = + =  +  = 精确值为 f (4.5) 0.04706 = 。 收敛性证明： 当 [ , ]  k k+1 x x x 时 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 l x l x l x j k k n j + = =  = + ， 故 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 1 f x l x l x f x = k + k+ . 另一方面，这时

I,(x)=fglk(x)+f&+k(x) 现在证明m Iim I,(x) =f(x) 考 虑 f(x)-l(x)≤(x)(x)-fk +11(x)f(x)-fk ≤[k(x)+k+(x)]o(hk)= 这里o(h)是函数f(x)在区间 a,b上的连续模,即对任 意两点x,x"∈[ab,只要 x-x"|< h,就有 f(x)-f(x")≤o(h)

( ) ( ) ( ). 1 1 I x f l x f l x h = k k + k+ k+ 现在证明 lim ( ) ( ) 0 I x f x h h = → 。考 虑 h k k f (x) − I (x)  l (x) f (x) − f 1 1 ( ) ( ) + k+ − k+ l x f x f [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 l x l x h h h  k + k+  k = k  . 这 里 (h) 是函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的连续模，即对任 意 两 点 x  , x [a,b] ，只要 x  − x   h ，就有 f (x ) − f (x ) (h)

称o(h)为f(x)在[a,b上的连 续模,当f(x)∈Ca,b 时,就有mo(h)=0 由前式可知,当x∈[a,b时 有 maxf(x)-l(x)≤O(h) a0 在[a,b上一致成立,故(x)在 a,b]上一致收敛到f(x)。 分段线性插值的误差估计: 如果f(x)在[a,b上二阶连续

称 (h) 为 f (x) 在 [a,b] 上的连 续模，当 f (x) C[a,b] 时，就有 0 lim ( ) 0 h  h → = 。 由前式可知，当 x [a,b] 时 有 max ( ) ( ) ( ) h a x b f x I x h    −  ， 因此，只要 f (x) C[a,b] ，就 有 lim ( ) ( ) 0 I x f x h h = → 在 [a,b] 上一致成立，故 I (x) h 在 [a,b] 上一致收敛到 f (x) 。 分段线性插值的误差估计： 如果 f x( ) 在 [ , ] a b 上二阶连续