西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九讲 共形映射分式线性映射

第九讲共形映射 分式线性映射

第九讲 共形映射 分式线性映射

§1共形映射的概念 m1.曲线的切线 m2.导号数的几何意义 口3.共形映射的概念

 1. 曲线的切线  2. 导数的几何意义  3. 共形映射的概念 §1 共形映射的概念

1.曲线的切线 设连续曲线C:z=z()t∈a,B 它的正向取增大时点移动的方向 若z'(t)≠0,∈(a,B),取P,P∈C,P,P对应 的参数分别为,t, 割线Dp对应于参数增大的 (z)C:z=x() 方向 则割线的方向向量与向量0 z(t+△)-x(t0) ①方向相同0

C :z = z(t) t [,  ] 它的正向取t增大时点z移动的方向. 1. 曲线的切线 . ( ) ( ) 0 0 0 方向相同 则割线的方向向量 与向量 t z t t z t p p  +  − 的参数分别为 ， 若 取 对 应 t t z t t P P C P P , '( ) 0, ( , ), , , , 0 0  0    0  0 设连续曲线 C : z = z(t)  o x y (z) P0 P 方向。 割线p0 p对应于参数t增大的

割线方向pP的极限位置: z(t)=linx(tn+△)-z () △t 曲线C在p处的切向量且方向与正向一致 若z'(t)≠0,t∈(a,B) (z)C:z=x() 则曲线在有切线z'(t0) P 就是切向量它的倾角 T P=arg z(to). x 0

 T C : z = z(t)  o x y (z) P0 P 割线方向p0 p的极限位置：t z t t z t z t t  +  − =  → ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 . —曲 线C在p0 处的切向量且方向与C正向一致 arg '( ). , , '( ) '( ) 0, ( , ), 0 0 0 0 0 z t C z z t z t t =       就是切向量它的倾角 则曲线 在 有切线 若 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~

定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线 ● (1)rgz'(t)-曲线C在点乙处切线的 正向与轴正方向之间的夹角 (2)若曲线C1与曲线 (z)1 C2相交于点0,在交点处 两曲线正向之间的夹角 就是它们的两条切线 b C2:2=2(t 向之间的夹角

 . (1) '( ) 0 0 正向与 轴 方向之间的夹角 曲 线 点 处切线的 正 在 x Argz t − − C z 定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线. 之间的夹角. 就是它们的两条切线 两曲线正向之间的夹角 交点处 若曲线 向 正 ,在 (2) 2 0 1 C z C 相交于点 与曲线 : C2 ( ) 2 z = z t ( ) 1 :z = z t C1 o x y (z) 0 z  ~~~~~~~~~~

2.解析函导敝的几何意义(鵝角和) 设=f(z)在区域D内解析z∈D,且八'(z0)≠0, 在D内过n引一条有向光滑曲线 C:z=x(1)t∈[a,B 取∈(a,B)z=z(t)z(tn)≠0则 ∫(z z平面上C:z=z(t)→w平面上r:w=fz( r一过点w=f(z)正向取增大方向的曲线

2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模) ( ) , , '( ) 0, 设w = f z 在区域D内解析 z0  D 且f z0  : ( ) [ , ] : 0 C z = z t t    D z 在 内 过 引一条有向光滑曲线 ( ) .  —过 点w0 = f z0 ，正向取t增大方向的曲线 ( , ) ( ) 0 0 0 取t    z = z t z'(t 0 )  0 则 : ( ) : [ ( )] ( ) z C z z t w w f z t w f z = →  = = 平面上 平面上 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~

∴v'(t0)=f"(z0)z"(t0)≠0 Argn (to)=Argf(zo)+ Argz(to) 记Φ Ap Argf(zo)= Argw(to)-Argz'(to) 即a=①-q(1 C:z=(t) r:w=( T W=f(z) 09

 w'( t 0 ) = f '( z 0 ) z'( t 0 )  0 '( ) '( ) '( ) 0 0 0  Argw t = Argf z + Argz t 记    '( ) '( ) '( ) 0 0 0 即 Argf z = Argw t − Argz t 即  =  −  (1) C : z = z ( t ) o (z) x y ov ( w ) u  : w = f[z(t)] w= f (z) →  T '  T 0 z w0

若视x轴与轴和轴与轴的正向相同 称曲线C的切线正向与映射后戲正向之 间的夹角为原曲线C经映射=f(z)在点 z的转动角记作a a=-φ即4rgf"(x)=Argw'(tn)-Argz(t0)

, . ( ( )) , 0 的转动角记 作 间的夹角为原曲线 经映射 在 点 称曲线 的切线正向与映射后曲线 正向之 若 视 轴 与 轴 和 轴 与 轴的正向相同 z C w f z C x u y v =  ~~~~~~~ '( ) '( ) '( ) 0 0 0  =  − 即Argf z = Argw t − Argz t T ' u  x T  0 z w0 

(1)导数幅rg/(的几何意义 ①4egf"(zn)f"(xa)≠0)是曲线C经过w=∫(z) 映射后在点转动角 由(1)式a仅与映射=∫(z)及点z有关则 ②转动角a的大小及方向与曲线的形状 与方向无关这种性质称为映射具转 动角的不变性

由(1)式仅与映射w = f (z)及 点z0 有 关,则 (1)导数幅角Argf'(z)的几何意义 . '( )( '( ) 0) ( ) 0 0 0 映射后在点 的转动角 ① 是曲线 经 过 z Argf z f z  C w = f z ~~~~~~~~~ . , 动角的不变性 与方向无关这种性质称为映射具有转 ② 转动角的大小及方向与曲线C的形状 ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~

设C(i=1,2)在点z0的夹角为O,C1(E=1,2) 在变换=f(z)下映射为相交于点v=f(zn) 的曲线:(=1,2),r1,r2的夹角为⊙ Vt(z) v()、\回=Φ2-① 6 g2-q1 f∫(z) 由式(1)有,a=Φ;-q;(i=1,2) → :=0—保角性

 2 ( 1,2), , . ( ) ( ) ( 1,2) , ( 1,2) 1 2 0 0 0  =    = = = = 的曲线 的夹角为 在变换 下映射为相交于点 设 在 点 的夹角为 i w f z w f z C i z C i i i  i o x y (z) C1 C2 1 0 z w= f (z) →  = 2 −1 2 1 1 2 o v u (w) w0 2 1 2 1 (1) ( 1,2)       −  = − 由 式 有 ， = i − i i =  = ——保角性  =2 −1