《数值计算方法》正交多项式

§4正交多项式 若首项系数an≠0的n次多项式 0n(x),满足 ≠k (29)=.p(x),(x)(x)dx Ak>0 j=k, (2k=O,12…) 就称多项式序列o,1,…O,在 [a,b上带权p(x)正交,并称9,(x)是 [a,b]上带权(x)的n次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆一施密 特(Gram- Schmidt)方法 定理:按以下方式定义的多项 式集合{,q,9是区间[a,b上关

§4 正交多项式 若首项系数 0 n a  的 n 次多项式 ( ) n  x ，满足     =  = =  0 ; 0, , ( , ) ( ) ( ) ( )d A j k j k x x x x k j k b a  j  k    ( , 0,1, ) j k = 就称多项式序列 0 1 , , ,   n ，在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交，并称 ( ) n x 是 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密 特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项 式集合 0 1 { , , , }   n 是区间 [ , ] a b 上关

于权函数P(x)≥0的正交函数族 Po(r)=l 02(x) X-a 0(x)=(x-ak)k1(x)-Bqk=2(x) 其中 b xPk-1, pk P(x)xok-() b 0(x)(k-1(x)x (k=1,2,3 b p(x)21(x) b k-257k-2 ()ok,(x)dx (k=2,3

于权函数 ( ) 0 x  的正交函数族。 0  ( ) 1 x = 1 1   ( )x x = − 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k      x x x x = − − − − ( 2,3, , ) k n = 其中 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x x dx x x x dx          − − − − − − = =   ( 1, 2,3, , ) k n = 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) b k k k a k b k k k a x x dx x x dx          − − − − − − = =   ( 2,3, , ) k n =

证明可用归纳法,略。 例:求f(x)= Sin zx在[0,1]上 的二次最佳平方逼近多项式。 解:构造正交多项式 (x)=1 00 (n,0)1ax2 P, (x)=x-a=x 2 (xo,, )Jo xXU 2 2 0 (q121) 「(x-2)2ax (0,9o) 12

证明可用归纳法，略。 例：求 f x x ( ) sin =  在［0，1］上 的二次最佳平方逼近多项式。 解： 构造正交多项式 0  ( ) 1 x = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 ( , ) 1 ( , ) 2 1 xdx x dx      = = =   1 1 1 ( ) 2   x x x = − = − 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 2 1 ( ) 2 x x dx x x dx      − = = = −   1 2 0 1 1 2 1 0 0 0 1 ( ) ( , ) 1 2 ( , ) 12 1 x dx dx      − = = =  

02(x)=(x-a2)01(x)-B290(x)=(x-) x 于是 (q,)=1dx=1 12 (g292)=(x2-x+2)2dx 180 (,Po)=Isin zxdx p1)=L(x-osin xdx=0 ( 22)=L(x2-x+3)sin z xdx 丌2-12 3丌 故f(x)=sn丌x在[0,1]上的二次 最佳平方逼近多项式为 0(x) 0(x) (f,91) 02(x) (f,92) 02(x)≈ (0,90) (1,2) (02,2)

2 2 2 2 1 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 6      x x x x x x x = − − = − − = − + 于 是 1 0 0 0 ( , ) 1 1   = = dx  1 2 1 1 0 1 1 ( , ) ( ) 2 12   = − = x dx  1 2 2 2 2 0 1 1 ( , ) ( ) 6 180   = − + = x x dx  1 0 0 2 ( , ) sin f xdx    = =  1 1 0 1 ( , ) ( ) sin 0 2 f x xdx   = − =  2 1 2 2 3 0 1 12 ( , ) ( )sin 6 3 f x x xdx     − = − + =  故 f x x ( ) sin =  在［0,1］上的二次 最佳平方逼近多项式为 0 1 2 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.1225 4.1225 0.05047 ( , ) ( , ) ( , ) f f f x x x x x x              = + +  − + −

4-1勒让德多项式 当区间为[-1,1],权函数 p(x)=1时,由{x…,x,…}正交 化得到的多项式就称为勒让德 ( Legendre)多项式,并用 0(x),(x)…Pn(x)…表示。 1(x)=1,P(x) 2ma{(x2-1”} (n=1,2,3,…)2 P(x)是n次多项式,对其n次 求导后得 (2n)(2n-1)…(m+1)x”+an1x-+…+ 2 n! 首项x的系数

4-1 勒让德多项式 当区间为［－1,1］，权函数 ( ) 1 x  时，由 {1, , , , } n x x 正交 化 得到的 多项 式就称 为勒让 德 (Legendre) 多 项 式 ， 并 用 0 1 ( ), ( ), , ( ), P x P x P x n 表示。 2 0 1 ( ) 1, ( ) {( 1) } 2 ! n n n n n d P x P x x n dx = = − ( 1, 2,3, ), n = ( ) P x n 是 n 次多项式，对其 n 次 求导后得 1 1 0 1 ( ) (2 )(2 1) ( 1) 2 ! n n n n n P x n n n x a x a n − = − + + + + − 首 项 n x 的系数

(2n)(2n-1)…(n1) (2n) 2"n! 2"(n!) 显然最高项系数为1的勒让德多 项式为 P,(x) (2m)ahx?(x2-1)y} 勒让德( Legendre)多项式具体表 达式为 B(x)=1 P(x=x P2(x)=(3x2-1) P3(x)=(5x-3x) P(x)=(35x4-30x2+3) 8

2 1 (2 )! (2 )(2 1) ( 1) . 2 ! 2 ( !) n n n n a n n n n n = − + = 显然最高项系数为 1 的勒让德多 项式为 2 ! ( ) {( 1) } (2 )! n n n n n d P x x n dx = − 勒让德(Legendre)多项式具体表 达式为 0 1 2 2 3 3 4 2 4 ( ) 1 ( ) 1 ( ) (3 1) 2 1 ( ) (5 3 ) 2 1 ( ) (35 30 3) 8 P x P x x P x x P x x x P x x x = = = − = − = − +

x)=∑ (-1)(2n-2k) n-2k X k=62k(n-k)(n-2k)! (n=0,1,2,…) 性质1正交性 ≠H ∫P(x)(x={2 nm=n 2n+1 证明:反复用分部积分公式,略。 性质2奇偶性 P(-x)=(-1)"Pn(x) n为偶数时P(x)为偶函数,n为奇 数时(x)为奇函数。 性质3递推关系

[ ] 2 2 0 ( 1) (2 2 )! ( ) 2 !( )!( 2 )! n k n k n n k n k P x x k n k n k − = − − = − −  ( 0,1, 2, ), n = 性质 1 正交性 1 1 0, ; ( ) ( ) 2 , . 2 1 n m m n P x P x dx m n n −    =  =   +  证明：反复用分部积分公式，略。 性质 2 奇偶性 ( ) ( 1) ( ) n P x P x n n − = − n 为偶数时 ( ) P x n 为偶函数，n 为奇 数时 ( ) P x n 为奇函数。 性质 3 递推关系

(n+1)P+1(x)=(2n+1)xP2(x)-nBn=1(x) (n=1,2,3,…) 证明略。 性质4在所有最高项系数为 1的n次多项式中,勒让德多项式 P(x)在[-1,1]上与零的平方误 差最小。 证:设Q(x)是任意一个最高项系 数为1的多项式,可表示为 Q,(x)=P(x)+∑akP(x)=x+bnx”1…bx+ 于是 (Q,Q)=(2(x)-0)ak=(x)

1 1 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) n n n n P x n xP x nP x + = + − + − ( 1, 2,3, ), n = 证明略。 性质 4 在所有最高项系数为 1 的 n 次多项式中，勒让德多项式 ( ) P x n 在［－1，1］上与零的平方误 差最小。 证：设 ( ) Q x n 是任意一个最高项系 数为 1 的多项式，可表示为 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n n n n n k k n k Q x P x a P x x b x b x b − − − = = + = + +  于是 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( ( ) 0) ( ) Q Q Q x dx Q x dx n n n n − − = − =  

(P2P)+∑a(B,P)≥(B2,P) 证毕。 性质5P(x)在区间[-1,1] 内有n个不同的实零点 4-2第一类切比雪夫 ( Chebyshev)多项式 当区间为[-1,1],权函数 p(x) 时 由序列 1x,…,x}正交化得到的正交多 项式就是第一类切比雪夫 ( Chebyshev)多项式。它可表示

1 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) n k n n k k n n k P P a P P P P − = = +   证毕。 性质 5 ( ) P x n 在区间［－1，1］ 内有 n 个不同的实零点。 4-2 第 一 类 切 比 雪 夫 （Chebyshev）多项式 当区间为［－1，1］，权函数 2 1 ( ) 1 x x  = − 时，由序列 {1, , , , } n x x 正交化得到的正交多 项 式 就 是 第 一 类 切 比 雪 夫 （Chebyshev）多项式。它可表示

为 ()=cos(n x),x<1 若令x=C0,当x在[-1,1] 上变化时,对应的在[0,π]上 变化,其可改写成 Tn(x)=cosm,0≤≤丌 具体表达式为 0(x)=cos0= T()=cos=x T2(x)=cos20=2cos2O-1=2x2-1 T3(x)=cos30=4x3-3x 74(x)=Cos40=8x-8x2+1 T(x)=∑(-1)(-k-N(2)2k k!(n-2k)

为 ( ) cos( arccos ), 1. T x n x x n =  若令 x = cos ,  当 x 在［－1，1］ 上变化时，对应的  在［0，π］上 变化，其可改写成 ( ) cos , 0 . T x n n =      具体表达式为 0 1 2 2 2 3 3 4 2 4 ( ) cos 0 1 ( ) cos ( ) cos 2 2cos 1 2 1 ( ) cos 3 4 3 ( ) cos 4 8 8 1 T x T x x T x x T x x x T x x x      = = = = = = − = − = = − = = − + [ ] 2 2 0 ( 1)! ( ) ( 1) (2 ) 2 !( 2 )! n k n k n k n n k T x x k n k − = − − = −  −