西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一讲 幂函数、指数函数所构成的映射 §4 几个初等函数所构成的映射

第十一讲

第十一讲

§4几个初等函数所构成的映射 m1.幂画数 m2.指敖函数

 1. 幂函数  2. 指数函数 §4 几个初等函数所构成的映射

1幂敝 幂函数:w=z"(n≥2为自然数 ≠0(z≠0 dz 在z平面内除去原点外由w=z"所构成的映射 处处共形 令又 ie w= pe nin日 =x=〃e→p 9=n6

1.幂函数 w = z (n  2为自然数) n 0 ( 0) 1 =   − z dz dw nz dz dw n         w z r e r n z re w e n n i n n i i = =  = = = = 又 令 幂函数： . , 处处共形 在z平面内除去原点外由w = z n 所构成的映射

由此可见在和=z"映射下, z=r→叫=r"特别:|z=1→=1 射线=6→q=nO 特形:=0→=0(正实轴映射成正实轴 角形域<θ<θ(<-)→角形域0<q<nO W=Z ne

: 1 1. , , = → = = → = = z r w r z w w z n n 特 别 由此可见 在 映射下 : 0 0( ) 0 0 特 形 正实轴映射成正实轴 射 线 = → = = → =      n  x y ( z)  0 n w = z 0 0 0 ) 2 0 (      n n 角形域    →角形域   u v ( w )  = n  0

2兀 特别:0<0<→0<<2兀 W=Z 上岸 LIT 下岸 从这里可以看出在=0处角形域的张角经过 这一映射后变了原来的倍,n≥2时,映射 W=z"在z=0处没有保角性

    0 2 2 0   →   n 特别： x y ( z) n2 n w = z 上岸 下岸 u v ( w ) 0 ., 2 , 0 在 处没有保角性 这一映射后变了原来的 倍 时 映 射 从这里可以看出在 处角形域的张角经过 = =   = w z z n n z n

幂函数所构成的映射特点:把以原点为顶点的角 形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成 了原来的n倍,因此, 如果要把角形域→>角形域常采用幂函数

如果要把角形域→ 角形域常采用幂函数. 幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角 形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成 了原来的n倍，因此， ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~

例1求将0<amz<→刚<1的一个映射 解 () 5+i

1 . 4 求 将0  arg z  → w  的一个映射  x y ( z) u v ( w ) ( ) 4 4  = z ii w +− =  z i z i w +− = 44 i 例 1 解 :

例2求将图中由圆弧;与c2所围成的交角为的 月牙域→q<arw<g+a的一个映射 W=e2( z十L =epo Z+I

arg . 0 0 1 2 月牙域 的一个映射 求将图中由圆弧 与 所围成的交角为 的     →  w  + c c 1 c 2 c - i x y ( z)    ( ) z i z i i +−  = i 1 1 u v ( w )  0    0 i w = e ( ) 2 0 z i z i w ei +− = +  例 2

2.指函数 指数函数:w=e2 v'=e2≠0 w=e是全平面上的共形映射 设z=x+w=pe1→p=ep=y-(2 由此可知 直线Rez=常数=c→圆w=e 直线mx=常数=C1→射线:g=c1

z 指数函数:w = e 2. 指数函数 . ' 0 z 是全平面上的共形映射 z w e w e  =  =  z = x + i y w = e  = e = y − −(2) i x    设  c 直线：Re z = 常 数= c →圆 ：w = e 由此可知 1 1 直线:Im z = 常数= c →射线： = c

00<argw<a 带形区域 角形区域 L ary w=a 0

0  Im z  a(0  a  2 ) → 0  arg w  a 带形区域 角形区域 x y (z) ia z w = e u v (w) arg w = a arg w = 0 a