西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一讲 复数（刘萍）

课程简介 课程名称复变函数 教材复变感数》(四版) 西安交通大学高等数学教研室编 总学时24学 教师姓名刘萍

课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 西安交通大学高等数学教研室 编 总 学 时 24学时 教师姓名 __刘萍__ 课程简介

对象复变函数(自变量为复数的函数) 主要任务研究复变数之间的相互依赖关系, 具体地就是复数域上的微积分 主要内容复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等

对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 复数与复变函数、解析函数

学习方法复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果

学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果

背景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实 数坷就扩大到复数城。但在十八世纪以前,由于对复 数的概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又 得到一些矛盾,所以,在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪, J D'Alembert(1717-1783)L Euler(1707 1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义, 澄清了复数的概念,并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 大承认接受复变函数论才能顺利建立和发展

背 景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707- 1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展

复变函数的理论基础是十九世纪奠定的 A.L. Cauchy (1789-1866)F4 K Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数, G.FB. Riemann(1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力,复变函数形成了非常系统的理 论,且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学, 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理论 物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其它分 支的联系也日益密切

复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论 物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分 支的联系也日益密切

第一讲复数

第一讲 复数

CH1§1复数及其代数运算 m1.复教的概念 m2.代数选算 m3.共轭复数

 1. 复数的概念  2. 代数运算  3. 共轭复数 CH1 §1复数及其代数运算

1.复数的概念 定义对任意两实数xy,称z=x+j或zx+ⅵ 为复数其中2=-1,淋为虚单位 复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(d)=y (real part) (imaginary part) 复数的模|z=√x2+y2≥0 判断复数相等 1=2分x1=x2,y1=y2,其中1=x1+i,可2=x2+ij2 z=0<→Re(z)=Im(z)=0 一般,任意两个复数不能比较大小

一般, 任意两个复数不能比较大小。 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数。 其 中 i 2 = −1 , i称为虚单位。 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) | | 0 2 2 • 复数的模 z = x + y  0 Re( ) Im( ) 0 , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 =  = = =  = = = + = + z z z z z x x y y 其 中z x i y z x i y • 判断复数相等

2.代数色算 四则运算 定义x1=x1+i1与x2x2+2的和、差、积和商为: 1±a=(x1±x2)+i(1±y2) x122=(x1+i1)(x2+i2)=(x1x2y2)+i(x2y1+xu2) z2/2+2y1-x2 x=_x1x2+y2 (2≠0)

定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1y2 )+i(x2y1+x1y2 ) ( 0) | | | | 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1  − + + = = z z x y x y i z x x y y z z z 2. 代数运算 •四则运算

运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 (与实数相同)即, z1+z2=z2+z1; z1z2=22z13 (1+z2)+z3=z1+(z2+z3) Z1(z243=(z12)z3; Z1(2+23)=212+1

z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 )； z1 (z2z3 )=(z1z2 )z3； z1 (z2+z3 )=z1z2+z1z3 . •运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即