广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学 17.3 方向导数与梯度

第三节 第十七章 方向导飘与梯度 方向导数 二、梯度 三、物理意义 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

第十七章 第三节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度

方向导数 定义若函数f(x,y,2)在点P(x,y,z)处 P 沿方向l(方向角为a,B,y)存在下列极限P △f P(x,y, 2) p→0 linf(x+Ax,y+Ay,z+△2)-/(x,y2)记作f p→>0 al p=√(△x)2+(△y)2+(△) Ax=pcos a, Ay=p cos B, Az= p cos r 则称为函数在点P处沿方向l的方向导数 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

l P(x, y,z) 一、方向导数 定义: 若函数 f (x, y,z)    f →0 lim 则称 l f   l f    为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.   ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为  ,  ,  ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作

定理:若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有 of af af f cos a cOS B+ COS y al ax y P 其中a,B,y为的方向角 证明由函数f(xy2在点P可微,得/Pxy) Afor △x+ x 0f△y+02 af △z+0(P) af of of =pax cosa cOS B+ cosy)+O(p 故 f = lim △f8∫ f af coSa+cos B+cosy p→0p ay HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,   f l f  =   →0 lim cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f  +    +    +    = =  ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束  P 故 cos cos  cos z f y f x f   +   +   =

对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向l(方向角 为a,B)的方向导数为 af f(x+Ar,y+Ay)-f(x,y Im 01p→0 P f(, y)cosa+f,(x, y)cos B x (p=(△x)2+(△y)2,△=pcos,△y= pcos B) 特别 当1与x轴同向(a=0,B=2)时有0f0f al ax 当1与x轴反向(a=z,B=)时有Of0f al ax HIGH EDUCATION PRESS 8 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 f (x, y), 为,  ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方   ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f +  +  − =   → = f x (x, y)cos + f y (x, y)cos  P l x y o x f l f   =   特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0,   =  = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 ,   =   = x f l f   = −   l 向角

例.求函数=x2yz在点P(1,1,1)沿向量l=(2,-1 3)的方向导数 解:向量l的方向余弦为 cos C COS cOS y /14 14 /14 2 X 2 √14 tx y. al p 14 √14(,1,1) 6 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 .    =    l P u 14 2 2xyz    +  14 2 3 x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为

例2求函数z=3x2y-y2在点P(2,3沿曲线y=x2-1 朝x增大方向的方向导数 解:将已知曲线用参数方程表示为 y P X=x y=x 它在点P的切向量为(1,2x)x=2=(1,4) cOS β=~11 az +(3x2-2y) 60 √17 17(2,3)17 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1  cos = 17 60 = o x y 2 P    = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos  = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1 指向外侧的法向量,求函数 6x2+8 在点P处沿 方向n的方向导数 解:n=(4x,6y,2z)p=2(2,3, 方向余弦为cosa=2 √14 COS B= COS √14 y √14 6x 6 而 OxPz6x2+8y2|p√14 同理得 /4 y P 14az 11 (6×2+8×3-14×1) an p 14 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos  = 14 1 cos = 而 x P u   =    n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1  +  −  z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n = n

二、梯度 方向导数公式f_0f af f Cosa+cosβ+cosy al ax az 令向量G of af af ox 0y 0z (cos a, cos B, cos y 0 cO((, al 当10与G方向一致时方向导数取最大值 f max G al 这说明方向:/变化率最大的方向 模:f的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、梯度 方向导数公式 cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束             = z f y f x f G , , (cos , cos , cos ) 0 l =    , 当l 0 与G方向一致时 G : ( ) G l f =   max

1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度( (gradient) 记作 grad f,即 grad f 0f0f0f)0f;0f;0f XX or 2 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 grad f 0f;,0f;(6f0f 0x0 x oy 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2梯度的几何意义 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

1. 定义 grad f , 即 同样可定义二元函数 P(x, y) 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度             = z f y f x f , , 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义

对函数z=(xy).曲线二=f(xy)在x0y面上的投 影L:f(x,y)=C称为函数/的等值线 设f不同时为零,则上点P处的法向量为 (x,fy) P=grad f 同样,对应函数l=f(x,y,z) 有等值面(等量面)(xy,2)=C,f= 当各偏导数不同时为零时,其上 O 点P的法向量为 grad fp (设c1<C2<c3) 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线), 指向函数增大的方向 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 在 xoy面上的投 z C z f x y    = = ( , ) L : f (x, y) = C 影 * 称为函数 f 的等值线 . 设 , 不同时为零 , x y f f 则L *上点P 处的法向量为 x y P ( f , f ) P = grad f o y x 1 f = c 2 f = c 3 f = c ( ) 1 2 3 设c  c  c P 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 grad . P f 对函数 z = f (x, y), 指向函数增大的方向