广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）15.2 以2L为周期的函数的展开

第二节以2L为周期的函数的展开 以2为周期的函数的傅立叶级数 二偶函数与奇函数的傅立叶级数 共三典型例题分析 四小结 上或

第二节 以2L为周期的函数的展开 • 一 以2l为周期的函数的傅立叶级数 • 二 偶函数与奇函数的傅立叶级数 • 三 典型例题分析 • 四 小结

、以2L为周期的傅氏级数 生:7=,:02x27代入傅氏级数中 +>(a, cos nax +b, sin nax) 2 n=1 定理设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 f(x)= nTtr nTtr cOs +h sin 2 +∑( H=1 上或

一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l  =   = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n + n  +   = 代入傅氏级数中

其中系数an,b为 nUx an=l f(x)cos"dx (n=0,1,2,) ntr b,=i f(x)sin dx,(n=1,2,) 上或

其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l b l l n

尽二偶函数与奇函数的傅立叶级数 千(如果(x)为奇函数则有 f(x)=∑ h sin nTt H=1 T 其中系数b为bn=f(x)sin",(n=1,) 上或

二 偶函数与奇函数的傅立叶级数 (1)如 果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1   =  = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n   其中系数 为 = (n = 1,2, )

(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=2+∑ac0s nT 2 H=1 其中系数a为an=2(x)omk 0 (n=0,1,2,…) 证明令z= ,-l≤x≤1→-兀≤z≤T 设(x)=(点=F(,F(a以2为周期 T F(z)=+2(a, cos nz+b, sin nz ) 2 n 上或

(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0   =  = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n   = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z  令 = − l  x  l  −  z  , ( ) ( ) F(z), lz f x f =  设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = +  n +  =

其中an=「F(x) cos nzd., F(zsinnzdz. πy-兀 gr ∵Z= F()=f(x) f(x)="+∑( (. cOS x+b, sin- x) 2 n=」 其中an=,f( n几 f∫(x)cos"xdx, b, =f(x)sindo 上或

( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n  +  = +  = ( )sin . 1 ( )cos , 1    −  −  =  = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1   − −  =  = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z =   =

庄定义如果().为奇函数傅氏级数立m 称为正弦级数 如果/(x)为偶函数,傅氏级数+∑a,cx 2 H-=1 称为余弦级数 上或

定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 +   = 称为余弦级数

生三、典型例题 例1设∫(x)是周期为27的周期函数,它在 -兀,)上的表达式为∫(x)=x,将∫(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 王在点x=(2k+1k=0士1+,)处不连续 收敛于f(=0)+(元+0)=x+(-m)0 2 在连续点2k+10处收敛于(x 上或

例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2  + (−) = = 0, 在连续点x(x  (2k +1))处收敛于f (x), 三、典型例题

x≠(2k+1)m时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3-2h-m 元/2兀3 n=0,(n=0,4,2, 上或

−   − 3 − 2 −   2 3 x y0  x  (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n

T b,=o (x)sin ndx=5o'-xsinnxdx 2-x cos/x+ sin/xk ☆Dm=2(-1y,(m=12,) 210 A∫(x)=2(ix-,sin2x+sin3x-…) s2(1)+1 n-=1 (-∞<x<+∞;x≠土π,±3π,) 上圆

  =  0 ( )sin 2 bn f x nxdx   =  0 sin 2 x nxdx  − +  = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1   = + − = n n nx n (−  x  +; x  ,  3, )