广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）14.2（函数的幂级数展开）

生第二节函数的幂级数展开 二泰勒级数 二初等函数的幂级数展开式 三小结 上或

第二节 函数的幂级数展开 • 一 泰勒级数 • 二 初等函数的幂级数展开式 • 三 小结

、泰勒级数 n 上节例题∑(-1)21=m(1+x)(-1<x≤ n存在幂级数在其收敛 f(x)=∑a(x-x0)域内以/.和函数 n=0 中问题:1如果能展开,an是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 上或

一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 =  −  = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

王定理1如果函数/()在(x)内具有任意阶导 数,且在U。(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑an(x-x)y 1 王则其系数an=1/0(x)(-=012) n! 中且展开式是唯一的 证明∵∑(x-xn)"在m(x收敛于f(x)即 H=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)”+… 上或

证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n −  =  f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的

逐项求导任意次得 cf(x)=a1+2n2(x-x0)+…+man(x-x)y-+… f("(x)=n!an+(n+1)n…32an1(x-x0)+… 令 X= 09 即得 出an=1f"(xn)(n=0,2,)泰勒系数 黍勒系数是唯一的,f(x)展开式是唯一的 上或

f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得  泰勒系数

牛定义刘果(x)在点x处任意阶可导则幂级数 n) mm"(x-x)称为f(x)在点x的泰勒级数 ∑ ∫"(0) ∑ x"称为f(x)在点xo=0的麦克劳林级数 H=0 问题f(x)?yfm(x) (x-x0) n=0 泰勒级数在收敛区间是否收敛于x)?不一定 上或

如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )  −  = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定

例如f(x)={e,x≠0 0,x=0 王在x0点任意可导,且"(0=0(=0.2,-) 庄:/x)麦氏级数为∑0x 该级数在(-0,+∞内和函数s(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x) 上或

    =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n =    =   0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x)  0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导

王定理2f(在点x的泰勒级数在U(x内收 敛于/()÷在Ux内mR(x)=0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, sT. f(rl-nf(xo) 20g"(x-x0)y+R,(x) Rn(x)=∫(x)-Sn+1(x),":! lim s+1(x)=∫(x) n→ lim rn()=limlf(x)-smi()=0; n→0 上或

定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;

充分性∵f(x)-Sn1(x)=Rn(x limlf(r)-sm+1(x)=lim R,(x)=0, n1→0 n→0 c即 I lims1(x)=f(x) n→0 王:∫(x)的泰勒级数收敛于fx) 庄定理3设()在()上有定义,M:0,对 Ⅴx∈(xn-R,x+R),恒有f(x)M (n=0,2,),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 上或

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x  x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数

证明 (n+1) (5) n 1 R,(x) (n+1) (x-x0)"sMt-. (n+1)! n+1 x∈(x0-R,x0+R) ∑,在(∞+∞收敛, m=(n+1)! n+1 lim nx-xn=0,故imR(x)=0 n)∞(n+1) n→0 x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数 上或

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0 + −  + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + −   = + n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0 = + −  + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R

生三、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) (n) 步骤:(1)求an (2)讨论imR=0或f(x)sM, 则级数在收敛区间内收敛于f() 上或

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n =  → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)