《数值计算方法》第一章 解线性代数方程组的直接方法（1.1-1.4）

第一章.解线性代数方程组的直接方法 51引言 n阶线性方程组: aux+anxi+.+aux=b a21x1+a2x2+…+a2xn=b2 anxian C nn∽n b, 矩阵表示记为AX=b 这里A=a1,x=(1,…,xn)2,b=(b1,…,bn

第一章. 解线性代数方程组的直接方法 §1.引言 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  阶线性方程组： [ ] , X , 1 1 T ij n n AX b T A n n a b  (x (b , , ) , , ) x b = = = = 矩阵表示记为 这里

如果线性方程组的系数行列式不为零,即det(A)≠0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆( cramer)法则,其解为 det(a) x (i=1,2…,n) det(a) 这种方法需要计算n+1个n阶行列式并作n次除法,而每个 n阶价行列式计算需作(n-1)xn!次乘法,计算量十分惊人。 如n=30,需238×1035次乘法。可见其在理论上是绝对正确, 但在n较大时,在实际计算中确实不可行的 解线性方程组的两类方法: 直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。(一般有限步內得不到精确解

35 det( ) 0, det( ) ( 1,2, , ) det( ) 1 ( 1) ! 30, 2.38 10 i i A A x i n A n n n n n n n n  = = + −  =  如果线性方程组的系数行列式不为零，即 则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为 这种方法需要计算 个 阶行列式并作 次除法，而每个 阶行列式计算需作 次乘法，计算量十分惊人。 如 需 次乘法。可见其在理论上是绝对正确， 但在 较大时，在实际计算中确实不可行的。 解线性方程组的两类方法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）

§2 Gauss消去法 aux+amx++aunxm-b 对阶价线性方程组:{ax1+a2x2+…+a2xn=b2 anX1+an2X2+…+c nnw n b, 转化为等价的(同解)的三角形方程组。 b1x+b2x2+…+bnxn=g1 b 222 +b 2 b, 称消元过程。逐次计算出x,xn1,…,x称回代过程

§2. Gauss 消去法 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g  + + +    + +     = = = 转化为等价的（同解）的三角形方程组。 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  对 阶线性方程组： 1 1 , , , n n x x x 称消元过程。逐次计算出 称回代过程。 −

Gauss消去法计算过程 统记号:a→am,b1→b1 原方程A"Y=b"A"=amb=(b1…b) 若a≠0 (第一行)-(第行)×a2/a1→(新第一行) (第一行)-(第行)×a3/→(新第一行) 第n行)-(第一行)×am/am→(新第n行) 相当于第个方程-第一个方程x数→新的第方 程同解!第一方程不动

→ 1 → 1 a a , b b ( ) i i ( ) 统一记号： ij ij 1 1 1 1 1 1 1 1 T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij ( ) ( ) X : [ ] , n A A b a b ( , , ) b b 原方程 = = = ( ) → ( ) ≠0 : 1 11 1 21 (1) 11 第二行 （第一行） 新第二行 若 a a a ( ) ( ) −  ( ) ( ) → ( ) 1 11 1 第三行 − 第一行 a ( 31 ) a ( ) 新第三行 n a a ( n ) ( ) ( ) (第 行) （第一行） n → 新第 行 1 1 1 1 −  1  相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方 程—同解！第一方程不动！ 一、Gauss 消去法计算过程

上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2第n个方程全消去了变量x1,而系数 和常数项全得到新值 auxtarx2+.tanx b a2x2+a23x3+…+a2xn=b2 (2) 3x2+a3x3+…+a3nXn b3 (2) n33 n=bn

上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值： (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (2) (2) (2) (2) 32 2 33 3 3 3 (2) (2) 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x + + + + = + + + = + + + = + + (2) (2) a x b nn n n          + =  

得到新同解方程组:Ax=b lI 12 In 0 bb 其中A2= (2) 0 (2 n 2 这里an=a (1) nila millau b1=b;-b1mnl2j=2,3.…,n

2 2 A x = b （ ） （ ） 得到新同解方程组： b b b b a a a a a a a A ( ) n ( ) ( ) ( ) nn ( ) n ( ) n ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 (2) 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 12 1 11 2 0 0       其中 = ， = a a m a m a a ( ) ( ) i i ( ) i j ( ) ij ( ) ij 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 这里 = − = 2 1 1 1 1 , 2 3 ( ) ( ) ( ) i i i , , ,n b b b m = −  = i j

第二步消元:若a2≠0,对除第一行第一列外 的子阵作计算 12 13 Cl1 b 2) (2 22C 2n 2 00 33 3n b)= b2 00 3 U(u b ajaj i2 a2j ni2 6:=6r-b2 mi2 i, 1 =3

(2) 22 第二步消元： 若 ，对除第一行第一列外 0 a  的子阵作计算： 0 0 0 0 0 3 3 3 2 2 1 1 (3) 3 3 3 3 3 3 33 2 2 2 23 2 22 1 1 1 13 1 12 1 11 3 b b b b b a a a a a a a a a a a A ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) nn ( ) n ( ) n ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) ( )          = ， = aij aij m a j m ai a (2) 22 (2) i2 2 (2) i2 2 (3) (2) = − = 3 2 2 2 2 , 3 4 ( ) ( ) ( ) i i i , , ,n b b b m = −  = i j

得到同解方程组A43)x=b3) C1x1+12x2+a13X3+…+am( 2X2+a23x3 2n b 3) 3) +∴ U33 X 3n Cn3x3+…+x(3)=n.(3) 若a3y≠0,则此消去过程可依次进行下去

A x b (3) (3) 得到同解方程组 = (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (3) (3) (3) 33 3 3 3 ( 3 3 n n n n a x a x a x a b a x a x a b a x a b + + + + = + + + = + + = ) (3) (3) a x a b 3 nn n          + + =   若 a ( 3 3 3) ≠0， 则此消去过程可依次进行下去

第n-1步消去过程后,得到等价三角方程组。 Ax=b C1x1C1x2+a13x2+….+() nxm=b (2) (2) a22 2Ta23x and x3+…+a3nxn=b amx

( ) ( ) 1 n n n A x b − = 第 步消去过程后，得到等价三角方程组。 (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (3) (3) (3) 33 3 3 3 n n n n n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b + + + + = + + + = + + = ( ) ( ) n n a x b nn n n          =  

系数矩阵与常数项 C1C12C13 02 (2) (2 (n) 00 (3) b 计算出Am),bm)的过程称消去过程

(1) (1) (1) (1) (1) 11 12 13 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 23 2 2 ( ) (n) (3) (3) (3) 33 3 3 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 b n n n n n n nn n a a a a b a a a b A a a b a b                 = =                     ， 系数矩阵与常数项： 计算出 A ( n ) ， b ( n ) 的过程称消去过程