《数值计算方法》第三章 牛顿

§3.牛顿 ( Newton)插值 3.1差商及其性质 差商定义 拉格朗日插值公式可看作直 线方程两点式的推广,若从直线 方程点斜式 P(x)=fo+ fr-fo X-x 出发,将它推广到具有n+1个插 值点的情况,可把插值多项式表 示为

1 §3.牛顿 (Newton)插值 3.1 差商及其性质 一.差商定义 拉格朗日插值公式可看作直 线方程两点式的推广，若从直线 方程点斜式 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ( ) ) i i i f f P x f x x f f x y x x − = + − = = − 出发，将它推广到具有 n+1 个插 值点的情况，可把插值多项式表 示为

P(x)=ao+a,(x-xo)+a2(x-xo(x-x +…+an(x-x0)…(x-xn-1) 其中,4,…,叫n为待定系数,可 由插值条件 Pn(x1)=f(j=0,1…,n) 确定

2 0 1 0 2 0 1 ( ) ( ) ( )( ) P x a a x x a x x x x n = + − + − − 0 1 ( ) ( ) + + − − a x x x x n n− 其中 0 1 , , , a a an 为待定系数，可 由插值条件 ( ) ( 0,1, , ) P x f j n n j j = = 确定

P(x0)=a0=f6 0(x1)=a0+a1(x1-x)=f1 P(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x)x2-x)=f2 c1= ffff

3 当 0 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n n n P x a f P x a a x x f P x a a x x a x x x x f  = =   = + − =  = + − + − − =    0 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 2 1 a f f f a x x f f f f x x x x a x x  =  −  =  −    − − −  − −  =  −  

依次可得到a3,442…,4n。为写 出系数ak的一般表达式,现引入 差商(均差)定义。 定义那x,x1=()-/(x 为函数(x)关于节点xxk的 阶差商,记为fLx,x]。 阶差商几xx,几x,x]的差 flo x, x] f Lro xx] flo, xI 商 Xk-XI 称为

4 依次可得到 3 4 , , , a a an 。为写 出系数 ak 的一般表达式，现引入 差商（均差）定义。 定义：称 0 0 0 ( ) ( ) [ , ] k k k f x f x f x x x x − = − 为函数 f x( ) 关于节点 0 , k x x 的一 阶差商，记为 0 [ , ] k f x x 。 一阶差商 0 1 f x x [ , ] , 0 [ , ] k f x x 的差 商 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ] k k k f x x f x x f x x x x x − = − 称为

f(x)关于节点,xk的二阶差 商,记为1x,x 递归地用k-1阶差商来定义k 阶差商, x,x,…;/=x2…x2,x-Ax 称为f(x)关于k+1个节点 x0x…x的k阶差商。 差商(均差)的性质

5 f x( ) 关于节点 0 1 , , x x xk 的二阶差 商，记为 0 1 [ , , ] k f x x x 。 递归地用 k-1 阶差商来定义 k 阶差商， 0 2 0 1 1 0 1 1 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] k k k k k k f x x x f x x x f x x x x x − − − − = − 称为 f x( ) 关于 k+1 个节点 0 1 , , , k x x x 的 k 阶差商。 二. 差商（均差）的性质

性质1:k阶差商可以表示成 k+1个函数值f(x),f(x) ,f(x)的线性组合,即 0叫1 可用归纳法证明 例 1x,x=()-/(x)=+

6 性质 1:k 阶差商可以表示成 k+1 个函数值 ( ), ( ), 0 1 f x f x , ( ) k f x 的线性组合,即 [ , , , ] 0 1 k f x x x = ( ) ( ) ( )( ) ( ) k j j 0 j 0 j j 1 j j 1 j n f x = x x x x x x x x − − − − − +  可用归纳法证明。 例: ( ) ( ) [ , ] 0 1 0 1 0 1 f x f x f x x x x − = − 0 1 0 1 1 0 f f x x x x = + − − ;

fIco, x,-fllxo xI-x2 xo-r x,-ro x,-r, xo- f (x-x)xD-x2)(x1-x)(x1-x2) 这个性质也表明差商与节点 的排列顺序无关(差商的对称 性)。即

7 [ , ] [ , ] [ , , ] 0 1 0 2 0 1 2 1 2 f x x f x x f x x x x x − = − ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 1 1 f f f f x x x x x x x x x x x x = + − + − − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 f f f x x x x x x x x x x x x = + + − − − − − − 这个性质也表明差商与节点 的排列顺序无关(差商的对称 性)。即

fx,x,…x]=几[x1,x,x2…x]=…=几 性质2: 依对称性,对调定义公式左端k 阶差商中x与xk-1的位置, x1 k-1515k-2 k-2:0

8 0 1 1 0 2 1 2 0 [ , , , ] [ , , , , ] [ , , , , ] k k k f x x x f x x x x f x x x x = = = 性质 2： 1 0 1 0 1 0 [ , , ] [ , , ] [ , , , ] k k k k f x x f x x f x x x x x − − = − 依对称性，对调定义公式左端 k 阶差商中 x0 与 k 1 x − 的位置， 1 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 0 [ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , , ] k k k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x − − − − − − − = −

再将各差商中的节点按原来次序 排列。 性质3:若(x)是x的n次多项 式,则一阶差商x,是x 的n-1次多项式,二阶差商 几x,xn,x是x的n2次多项式 般地,函数f(x)的k阶差 商几x,,,x小是x的n-k次多项 式(sm),而k>n时,k阶差商 为零

9 再将各差商中的节点按原来次序 排列。 性质 3:若 f x( ) 是 x 的 n 次多项 式,则一阶差商 [ , ] 0 f x x 是 x 的 n-1 次多项式,二阶差商 [ , , ] 0 1 f x x x 是 x 的 n-2 次多项式; 一般地,函数 f x( ) 的 k 阶差 商 [ , , , ] 0 k 1 f x x x − 是 x 的 n-k 次多项 式 ( ) k n  ,而 k n  时, k 阶差商 为零

若f(x)是x的n次多项式, 则P(x)=f(x)-f(x)也是n次多项 式,且P(x)=0。于是P(x)可分 解为 P(x)=(x-x)P1(x) 其中B1(x)为n-1次多项式。所 以 f(x)-f(x1)(x-x)P=1(x) X.X Pn_(x) X-x

10 若 f x( ) 是 x 的 n 次多项式， 则 ( ) ( ) ( ) P x f x f x = − i 也是 n 次多项 式，且 P x( ) 0 i = 。于是 P x( ) 可分 解为 1 ( ) ( ) ( ) P x x x P x = − i n− 其中 1 ( ) P x n− 为 n-1 次多项式。所 以 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) i i n i n i i f x f x x x P x f x x P x x x x x − − − − = = = − −