广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）函数极限存在的条件

第三节函数极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

第三节 函数极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

函数极限与数列极限的关系海涅定理) 定理f(x)在U/(x0;纳内有定义,lim∫(x)=A,兮 任意含于U(x;6)数列xn若 lim x=x0且xn≠x, 则有limf(xn) n→0 注:本定理有如下几点注释: 1本定理建立了函数极限与数列极限的关系,将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2本定理通常用来证明函数极限的不存在性

函数极限与数列极限的关系(海涅定理) lim ( ) . ( ; ) { }, lim , ( ) ( ; ) lim ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x A U x x x x x x f x U x f x A n n n n n n x x = =  =  → → → 则 有 任意含于 数 列 若 且 在 内有定义，  定理  注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性

证∵limf(x)=A ve>0,8>0,使当00,N>0,使当n>N时,恒有 0<xn-xo <8 从而有∫(xn)-A<8,故im∫(xn)=A

证 ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A 使当 x x 时 恒有 f x A x x = → lim ( ) 0  0 . 0, 0, , 0  −         x x N n N n 对上述 使当 时 恒有 f (x ) − A  , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 lim , xn x0 xn x0 n =  → 又 且

例如,lim SIn sInx lim nsin=1, lim nsin=1, lime n SIn n+1

例如, x x y sin 1 = sin lim 0 = → x x x 1, 1 lim sin = → n n n 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n

例1证明 lim sin不存在 →0 证取{xn} n元 SIn 50.75 n 0,且x≠ 0 n→0 n 取{xn}= )|4n+1},limx=0,且x≠0; n→0

x y 1 = sin 例 1 . 1 limsin 0 证明 不存在 x→ x 证   , 1    = n 取 x n lim = 0, → n n x  0 ; 且 x n   , 2 4 1 1    +  = n 取 x n lim  = 0 , →  n n x   0 ; 且 x n

而 lim sin= lim sin n丌=0 n→0 n→0 4n+1 而 lim sin= lim sin n→0 n→>0 =lim1=1, n→0 二者不相等,故 lim sin不存在

n x n n n limsin 1 limsin → → 而 = = 1,  2 4 1 limsin 1 limsin + = →  → n x n n n 而 lim1 → = n 二者不相等, . 1 limsin 0 故 不存在 x→ x = 0

单调有界准则: lim f(); lim f(x); y→+ x→>x0 lim f(x) lim f(r); x→-0 x→>x0 以上4种极限有相互对应的单调有界准则 定理设f(x)为定义在U(x0;δ)上的单调有界函数 则右极限lim∫(x)存在。 x→X

单调有界准则： lim f (x); x→+  lim f (x); x→−  lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → + 以上4种极限有相互对应的单调有界准则。 则右极限 存在。 设 为定义在 上的单调有界函数， lim ( ) ( ) ( ; ) 0 0 0 f x f x U x x x → + 定理 

Cauchy收敛准则 设函数(在U"(x0;5)内有定义。mf(x)存在 的充要条件为: VE>0,3>0,Vx,x"∈U(x;) lf(r)-f(xk& 1收敛函数的函数值在U/(xi:δ)几乎“挤”在了一起。 2通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在

Cauchy收敛准则： 设函数 在 内有定义。 存在 的充要条件为：     −         | ( ') ( '')| 0, 0, ' , '' ( ; ), 0 0 f x f x x x U x 1 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。 2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。 f ( x) ( ; ) 0 0 U x  lim ( ) 0 f x x→x ( ; ) 0 0 U x 