复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）常微分方程数值解（陈文斌）

微分方程数值解 陈文斌 www scicomput com Multigrid@scicomput com

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Euer方法 考虑常微分方程: l=f(t,u)2to<t≤7 令tn1=tn+bn1,m=01,N-1,有如下Eler方法 Jum+=um+hf(fm, um),m=0,1,.,N-1 uo =u(to)=a

Euler方法    = =   u t a u f t u t t T ( ) ' ( , ), , 0 0 考虑常微分方程： 令t m+1 = t m + hm+1 ,m = 0,1,...,N −1,有如下Euler方法    = = + = + = − u u t a um um hf t m um m N ( ) ( , ), 0,1,..., 1 0 0 1

Euler方法的三种解释 数值微分:用差商来代替导数 (t+h)au(t)+ hf(t, u(t)) 数值积分:把微分方程变成积分方程 (+b)-()=f(,()dr≈/(c() 幂级数展开:将u(t+h)在t做 Taylor展开 h L(t+h)=t()+h'(t)+t"'(t)+ 2! ≈t(t)+hf(t,(t))

Euler方法的三种解释 数值微分：用差商来代替导数 数值积分：把微分方程变成积分方程 幂级数展开：将u(t+h) 在t 做Taylor展开 (t + h)  u(t) + hf (t,u(t)) u(t h) u(t) f ( ,u( ))d hf (t,u(t)) t h t + − =   +    ( ) ( , ( )) ''( ) ... 2! ( ) ( ) '( ) 2 u t hf t u t u t h u t h u t hu t  + + = + + +

单步方法和多步方法 单步方法:利用h,tm和Um即可算出un+1 m+1≈lmn+h(tm,lmn;h) 多步方法:要用到h,tmtm+1…,tm+k1和 Um u+1x…,Um+1才能求出um+k ∑a1um=b∑月,fm =0

单步方法和多步方法 单步方法：利用h,tm和um即可算出um+1 多步方法：要用到h, tm, tm+1,…, tm+k-1和 um, um+1,…, um+k-1才能求出 um+k ( , ; ) um+1  um + h t m um h   = = + = + k j k j j m j j m j u h f 0 0  

显式和隐式方法 显式格式:un+1通过递推可以直接求得 隐式格式:Um+1需要求解代数方程才能求 得,例如改进的Euer方法 umi=um+ff(tm,um)+f(tmAL,umDI m=o, 1,.,N-1

显式和隐式方法 显式格式：um+1通过递推可以直接求得 隐式格式： um+1需要求解代数方程才能求 得，例如改进的Euler方法       = = + = + + + + = − u u t a f t u f t u m N h um um m m m m ( ) ( , ) ( , ) , 0,1,..., 1 2 0 0 1 1 1

局部截断误差和整体截断误差 局部截断误差Rm;假设第m步精确计算的 前提下,计算解山um+1和精确解u(t-n+-)的误 差 整体截断误差En:在考虑误差累积的效应下 ,计算解un+和精确解u(tm+)的误差 u(tm)

局部截断误差和整体截断误差 局部截断误差Rm：假设第m步精确计算的 前提下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误 差 整体截断误差 :在考虑误差累积的效应下 ，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差 m  m m um  = u(t ) −

相容性和相容的阶 q阶相容:若一个离散变量方法的局部截断 误差对任意m满足: Rn=O(h4+)(q≥1)

相容性和相容的阶 q阶相容:若一个离散变量方法的局部截断 误差对任意m满足： ( ) ( 1) 1 =  + R O h q q m

收敛性与收敛的阶 收敛:对任意的t∈(to,T],成立 h->0 to+mh->t 若此时,整体截断误差满足 O(h 则称方法的收敛阶为p简称为阶介的

收敛性与收敛的阶 收敛：对任意的 ，成立 若此时，整体截断误差满足 则称方法的收敛阶为p, 简称为p阶的 ( , ] t  t 0 T lim ( ) 0 0 u u t m t mh t h = + → → ( ) p  m = O h

稳定性 方法稳定性指对初始误差的连续依赖性,以 线性k步方法为例,即为存在常数C和ho>0 使得当h∈(O,h]时 max ksmsNum-Vm sCmax 0≤m-≤k-1m 这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳 定性指h→0情况下的稳定性

稳定性 方法稳定性指对初始误差的连续依赖性,以 线性k步方法为例，即为存在常数C和h0>0, 使得当 时 这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳 定性指 情况下的稳定性。 k m N m m m k m m u − v  C u − v max   max 0  −1 (0, ] h h0 h →0

绝对稳定性 绝对稳定性指对某类模型问题,对固定的万 ,当t→>∞时计算是稳定的。 u=uu, 为复数域中一个常数,记h=Ah 复平面上所有这样的h组成的区域称为这 个方法绝对稳定区域

绝对稳定性 绝对稳定性指对某类模型问题，对固定的 ,当 时计算是稳定的。 复平面上所有这样的 组成的区域称为这 个方法绝对稳定区域 t → h h h h u u    = = 为复数域中一个常数，记 '