复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）常微分方程数值解（陈文斌）

微分方程数值解 常微分方程数值解 陈文斌 multigridescicomput.com 复旦大学数学系 NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 1/65

￾✁✂✄☎✆✝ ✞￾✁✂✄☎✆✝ ✟✠✡ multigrid@scicomput.com ☛☞✌✍☎✍✎ NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.1/65

数学问题 存在性,唯一性,标准形式 NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 2/65

NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.2/65

数学问题 存在性,唯一性,标准形式 ■例子 NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 2/65

NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.2/65

数学问题 存在性,唯一性,标准形式 ■例子 基本方法 NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 2/65

NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.2/65

最简单间题 如果F(x)在区间[a,b是连续的,那么方程 F(c) 有一组解 y(a)=B+ F(t)dt 为了确定常数B,我们需要一个初始条件( initial value y(a)=A NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 3/65

F(x) [a,b] dy dx = F(x) y(x) = B + Z xa F(t)dt. B (initial value): y(a) = A NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.3/65

初值问题:标量形式 般的常微分方程的初值问题有下面的形式: F(x,y),a≤x≤b,y(a)=A 如果假设F(x,y)是连续的,将有解y=9(x)∈ Ch[a,b,且满足y(a)=A, NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 4/65

dy dx = F(x,y), a ≤ x ≤ b, y(a) = A F(x,y) y = y(x) ∈ C1[a,b] y(a) = A NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.4/65

Quadrature problems 特殊情况下,初值问题有时又称作求积问题,下面是另 个例子 y=F(y)→ a+ 例如 a=y,(0)=A (a)=Aexp(a) NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 5/65

Quadrature problems y 0 = F ( y ) ⇒ x ( y) = a + Z y A dt F ( t ) dy dx = y, y(0) = A ⇒ y ( x) = A exp( x ) NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.5/65

blows up y2,y(0)=1 在这种情况下 dt c(y) →0/(3 在x=1" blows up",因此过这一个点的初值问题没有 解 NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 6/65

blows up dy dx = y2, y(0) = 1 x(y) = Z y 1 dtt2 = 1 − 1y ⇒ y(x) = 1 1 − x x = 1"blows up" NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.6/65

多解的例子 对于初值问题 x≤b,y(a)=0 存在多解:对于任意的常数满足a≤y≤b y (x-y)3,x∈[,b NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 7/65

y 0 = 3y 23 , a ≤ x ≤ b, y(a) = 0 γ a ≤ γ ≤ b y(x) =  0 x ∈ [a,γ] (x − γ)3 ,x ∈ [γ,b] NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.7/65

奇异情形之 考虑 F(x,y),x∈[a,b0<a<b 容易知道y=cx满足微分方程。当a=0时,F(x,y) 不是连续的,甚至没有定义的,如果我们给定初始条件 y(0)=0,y=cx满足初始条件(在极限意义下)。请考 虑一下如果初始条件是y(0)=A时是什么样的? NA of ODE 2003, Fudan University, Chen Wenbin-p. 8/65

dy dx = y x = F(x,y), x ∈ [a,b] 0 < a < b y = cx a = 0 F(x,y) y(0) = 0,y = cx y(0) = A NA of ODE, 2003, Fudan University, Chen Wenbin – p.8/65