复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）微分方程数值解第一讲（程晋）

《微分方程教值解》 第一饼 程晋 复旦大学数学科学学院 2006年2月

《微分方程数值解》 第一讲 程 晋 复旦大学数学科学学院 2006年2月

为什么要研究数学? 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的 科学 ●数学来源于社会生产活动 现代数学的产生和发展是与力学、物理学 天文学等应用学科的发展相辅相成的 ●数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的 严密性,结论的明确性和体系的完整性,而 且在于它应用的广泛性

为什么要研究数学？ 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的 科学 数学来源于社会生产活动。 现代数学的产生和发展是与力学、物理学、 天文学等应用学科的发展相辅相成的。 数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的 严密性，结论的明确性和体系的完整性，而 且在于它应用的广泛性

为什么要研究数学? 经济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数 理论与方法的不断扩充使得数学已经成为 当代高科技的一个重要组成部分和思想库 工业、经济、交通、人口、生态等领域也越 来越广泛的使用数学作为研究工具。 ●数学已经成为一种能够普遍实施的技术

为什么要研究数学？ 经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数 学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为 当代高科技的一个重要组成部分和思想库 工业、经济、交通、人口、生态等领域也越 来越广泛的使用数学作为研究工具。 数学已经成为一种能够普遍实施的技术

数学成为技术的关键 ●合理的模型 ●完整的理论 ●可靠的算法 ●快速有效的数值模拟

数学成为技术的关键 合理的模型 完整的理论 可靠的算法 快速有效的数值模拟

什么是应用数学? 应用数学是利用数学来发展经验科学 的学科(林家翘) 它始于经验性事实,止于对经验性事 实进行规律性预测,这些舰律性预测 还必须被其他的实验数据所证实

什么是应用数学？ 应用数学是利用数学来发展经验科学 的学科 （林家翘） 它始于经验性事实，止于对经验性事 实进行规律性预测，这些规律性预测 还必须被其他的实验数据所证实

数学模型 目的:描述一个实际物理过程 归结模型 验证模型的正确性 不符合 与实际问题相符 直接应用 用于解决实际问题

数学模型 目的： 描述一个实际物理过程 归结模型 验证模型的正确性 用于解决实际问题 与实际问题相符 不符合 直接应用

微分方程 ●描述一个或几个函数与它们的导数之间 的关系 现实世界中的大多数问题,所归结的数 学模型都是微分方程

微分方程 描述一个或几个函数与它们的导数之间 的关系 现实世界中的大多数问题，所归结的数 学模型都是微分方程

例子 Malthus人口模型 ●假设:在人口自然增长过程中,增长率与人口成正比 ●t时刻人口为p(1),那么 dp_nt p()=p0 方程的解:p()=p2(0 ●将t按某一固定时间段为单位计算,则人口构成一个以e2 为公比的等比数列

例子: Malthus人口模型 假设：在人口自然增长过程中，增长率与人口成正比。 t 时刻人口为 ，那么 方程的解： 将t按某一固定时间段为单位计算，则人口构成一个以 为公比的等比数列

数值解 ●实际应用中,我们关必的是某个范围内 对应于某些特定的自变量的解的取值或 近似值

数值解 实际应用中，我们关心的是某个范围内 对应于某些特定的自变量的解的取值或 近似值

数值求解微分方程的意义 实际问题中,我们往往只对一个特定点 上的数据感兴趣 很多情况下,无法找到解析解 ●即使解析解存在,也不一定能表示为显 式解 ●即使对于具有显式解的方程,数值方法 仍然有其用武之地

数值求解微分方程的意义 实际问题中，我们往往只对一个特定点 上的数据感兴趣 很多情况下，无法找到解析解 即使解析解存在，也不一定能表示为显 式解 即使对于具有显式解的方程，数值方法 仍然有其用武之地