复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）非致命性传染病模型

非致命性传染病模型 陈丽璇 0118136

非致命性传染病模型 陈丽璇 0118136

问题的提出 生活中传染病有很多种 1,致命的传染病,如非典 2,非致命传染病,如流感等。 非致命传染病满足什么样的规 律?

问题的提出 生活中传染病有很多种 1，致命的传染病，如非典 2，非致命传染病，如流感等。 非致命传染病满足什么样的规 律 ？

几个假设前提 在解决问题时我们先对问题进行合理假设 >1由于该传染病不导致死亡,所以可以假设不考虑出生 率及死亡率 >2不考虑人口流动,即假设在一定时间内人口数量恒 为定值 3人们感染上传染病后很快痊愈,痊愈后又很可能再 感染传染病,如流感

几个假设前提 在解决问题时我们先对问题进行合理假设 ➢ 1由于该传染病不导致死亡，所以可以假设不考虑出生 率及死亡率 ➢ 2不考虑人口流动，即假设在一定时间内人口数量恒 为定值 ➢ 3人们感染上传染病后很快痊愈，痊愈后又很可能再 感染传染病，如流感

参数设置 在特定地区,人群可以分为两种 >1尚未染上传染病但很可能染上传染病的易感人群,记 为s(t) >2传染病患者,记为I( >3设单位时间一个患者传染的患者的数目与易感人群 数目成正比,正比参数为b 设一个患者康复的平均时间为n

参数设置 在特定地区，人群可以分为两种 ➢ 1尚未染上传染病但很可能染上传染病的易感人群，记 为s(t) ➢ 2传染病患者，记为I（t) ➢ 3设单位时间一个患者传染的患者的数目与易感人群 数目成正比，正比参数为b ➢ 设一个患者康复的平均时间为n

题分析 由上假设和参数的设置 可得到如下方程 as(t) =-bS(t)/(t)+/()/n at O/(t) =bS(t)/()-I(t)/n at

问题分析 由上假设和参数的设置 可得到如下方程 ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) / S t bS t I t I t n t I t bS t I t I t n t  = − +   = − 

问题分析 数学分析方法分析 ●由于总人口数目不变,在本模型中设为1 Ol(t) bs(t)/(t)-/(t)/n ○t 可得 or(t) =b(1—I(t))I(t)-l(t)/ ○t 的导数为零时 b(1-I(t))/(t)-/(t)/n-O 设p=1/bn

问题分析 数学分析方法分析 ⚫ 由于总人口数目不变，在本模型中设为1 ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) 1 ( ) ( ) / 1 ( ) ( ) / 0 I t bS t I t I t n t I t b I t I t n t b I t I t n  = −   = −  − 由 可得 （－I(t)) 当I的导数为零时 （－I(t)) ＝ 设p=1/bn

问题分析 由前分析可知 当I的导数为零时 (1-I(t))I(t)-/()p=0 其中p=1/bn 则I(t)(I(t)-(1-p))=0

问题分析 由前分析可知 1 ( ) ( ) 0 I t I t p − 当I的导数为零时 （－I(t)) ＝ 其中p=1/bn 则I(t)(I(t)-(1-p))=0

猜测 由上数学分析方法的分析 我们可以猜测 当p=1时,工最后将趋于零,即患者数目最 后趋于零,所有人都康复

猜测 由上数学分析方法的分析 我们可以猜测 当p=1时，I最后将趋于零，即患者数目最 后趋于零，所有人都康复

数值方法分析 用 euler数值方法求解方程 n=n1+△n1(b-bn1-1/n)

数值方法分析 用euler数值方法求解方程 1 1 1 ( 1/ ) n n n n I I tI b bI n − − − = +  − −

左图取n9b=005 则p=1/nb=2221 最初患病人数分别取 0.1.09 右图取n15b=001 P=1/nb=6671 由此可见当p>1时,无论初始患者数目多少,最终都将趋于o!

左图取n=9,b=0.05 则p=1/nb=2.22>1 最初患病人数分别取 0.1…..0.9 右图取n=15,b=0.01 P=1/nb=6.67>1 由此可见当p>1时，无论初始患者数目多少，最终都将趋于0！ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9