复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）关于有限元的计算

O关于有限元的计算 0118131 张燕燕

关于有限元的计算 0118131 张燕燕

问题的提出 「1x∈[O,1/2) 12x∈[/2) (0)=0 (1)=0 1求精确解 2用有限元方法求近似解 3计算误差

问题的提出 1.求精确解 2.用有限元方法求近似解 3.计算误差      = =      − = = (0) 0, (1) 0 2 [1/ 2,1) 1 [0,1/ 2) u u x x u f xx

精确解 x2+C1x+C3x∈[0, 2 x2+C2x+C4x∈(,1 ()=0:C3=0,(1 l(1)=0C2+C4=1;,(2)

精确解      − + +  − + +  = ,1] 2 1 ( ) 2 1 [0, 2 1 2 4 2 1 3 2 x C x C x x C x C x u (1) 0 1; (2) (0) 0 0; (1) 2 4 3 =  + = =  = u C C u C  

精确解 )=l2()∴C2-C1=1/2;(3 ∴一C2+ 2 28 由(1)(2),(3),4)我们可以得 ∈[O2x) (x) 2 8 8

精确解 由(1),(2),(3),(4)我们可以得 (4) 8 1 2 1 2 1 ) 2 1 ) ( 2 1 ( ) 1/ 2; (3) 2 1 ) ( 2 1 ( 2 4 1 2 1 =  + − = =  − = u u C C C ux ux C C         − + −  − +  = ,1] 2 1 ( 8 1 8 9 ) 2 1 [0, 8 5 ( ) 2 2 2 x x x x x x u x

有限元方法 选取有限元空间和一组基函数 x-x X∈ x q1(x) x∈[x12x+1]2 i+1 在别处

有限元方法 选取有限元空间和一组基函数           −  − = + + + − − 0 在别处 [ , ], [ , ], ( ) 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i x x x h x x x x x h x x  x

有限元方法 z 1(x) ∑c19(x)(x)=(9) i=1 Ac=F →C=A\F 其中an=(q,,),f=(f,)

有限元方法  − = = 1 1 ( ) n i u ci i x ( , ), ( , ) \ ( ( ), ( )) ( , ) ' ' 1 1 ' ' i j i j i i j n i i i j a f f AC F C A F c x x f       = = =  =  = − = 其中

有限元方法 取n=8,由计算得 j=1,2,3 F=3 2h 56.7 4 2 000 000

有限元方法 取n=8,由计算得        = = = = 4 2 3 2 5,6,7 1,2,3 h j h j h j Fi                 − − − − − = 0 ... 0 1 2 0 ... ... ... 1 0 ... ... ... 0 1 2 1 ... 0 2 1 ... ... 0 1 h A

有限元计算 近似解与精确解的图像如下 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1

有限元计算 近似解与精确解的图像如下

误差 0.2 0.18 0.14 0.12 0.08 0.06 004 0.02 020.30.40.5 0.80.9

误差