复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）水葫芦生长及治理模型

水芦生长及治理模型 周继顺 0018103 复旦大学 03.04.02

1 水葫芦生长及治理模型 周继顺 0018103 复旦大学 03.04.02

提要 提出问题 斗分析问题 斗提出解决问题的方案 利用数学方法解决问题 斗应用举例 斗模型改进

2 提要 提出问题 分析问题 提出解决问题的方案 利用数学方法解决问题 应用举例 模型改进

1.水葫芦污染的现状 水葫芦是50多年前从南美的 巴西引进來的,是外來物种。它 喜欢生长于温暖向阳及富含养分 的水域中,无性繁殖能力特别强, 每年的九、十月份是生长旺季。 在适宜的条件下,每5天就能繁殖 新株,也能开花结实产生种子而 进行有性繁殖 枝花大约结300 粒种子。一公顷水面的水葫芦就 能挤满200万株,重达300多吨。 在上海,每年内河水域的水葫芦 总量高达200万吨,覆盖了 40557平方公里中25%的水面。 3

3 1.水葫芦污染的现状 水葫芦是50多年前从南美的 巴西引进来的，是外来物种。它 喜欢生长于温暖向阳及富含养分 的水域中，无性繁殖能力特别强， 每年的九、十月份是生长旺季。 在适宜的条件下，每5天就能繁殖 新株，也能开花结实产生种子而 进行有性繁殖，一枝花大约结300 粒种子。一公顷水面的水葫芦就 能挤满200万株，重达300多吨。 在上海，每年内河水域的水葫芦 总量高达200万吨，覆盖了 405.57平方公里中25%的水面

2.水葫芦污染的形成 由于水葫芦在水中不及时打捞上岸,会腐烂变臭 从而造成环境污染。上海的水葫芦污染已日趋严重,水 域整治已迫在眉睫,在上海水域的水葫芦污染形成有以 下几个原因。 ■由长江上游及苏浙地区漂移而下。 ■水葫芦自身强大的繁殖能力。 ■水葫芦与周围的许多昆虫和病原菌建立了稳定的生态平 衡关系

4 2.水葫芦污染的形成 由于水葫芦在水中不及时打捞上岸，会腐烂变臭， 从而造成环境污染。上海的水葫芦污染已日趋严重，水 域整治已迫在眉睫，在上海水域的水葫芦污染形成有以 下几个原因。 由长江上游及苏浙地区漂移而下。 水葫芦自身强大的繁殖能力。 水葫芦与周围的许多昆虫和病原菌建立了稳定的生态平 衡关系

3.水葫芦的亮害 ◆河道堵塞 航远受阻 ◆水质污染 破坏生态

5 3.水葫芦的危害  河道堵塞  航运受阻  水质污染  破坏生态

4.建立水葫芦生长方程 由于上游的水葫芦也在不断繁殖,所以每天从上游 漂移进上海的水誚芦的速度也不断増加,于是我们设流 速为f(t),而己在上海水域的水葫芦自身繁殖加速度与水 域中水葫芦增加速度成正比,我们设为kV。而这个k的大 小取决于此水域生态系统的大小。我们设水葫芦増加速 度为v,这样我们可排出如下方程。 d kv+f (t) at

6 4.建立水葫芦生长方程 由于上游的水葫芦也在不断繁殖，所以每天从上游 漂移进上海的水葫芦的速度也不断增加，于是我们设流 速为f(t)，而已在上海水域的水葫芦自身繁殖加速度与水 域中水葫芦增加速度成正比，我们设为k v。而这个k的大 小取决于此水域生态系统的大小。我们设水葫芦增加速 度为v，这样我们可排出如下方程。 ( ) ' kv f t dt dv = +

5.计算水域中水葫芦的数量 由以上方程我们我们先对这一组[y进行样条插值 可以利用微分方程数 值方法计算每一个t之后我们对插值函数进行积分 时刻。水葫芦增加量具体命令如下 V的值,我们只需得pp= spline(t,y); 到若干个V的值,就 int _pp=fnint(pp); 能利用数值积分方法 计算水葫芦数量M。 Ssp=ppva(int pp, [a, b]*[-1; 1 (见右边)

7 5.计算水域中水葫芦的数量 由以上方程我们 可以利用微分方程数 值方法计算每一个t 时刻，水葫芦增加量 v的值，我们只需得 到若干个v的值，就 能利用数值积分方法 计算水葫芦数量M。 （见右边） Ssp ppval(int_pp,[a,b])*[-1;1] int_pp fnint(pp); pp spline(t, y); [t, y] = = = 具体命令如下： 之后我们对插值函数进行积分 我们先对这一组 进行样条插值

6.水葫芦数量增长分析 我们由假设可知流速函数f(t)必为递 增的,且其一阶导数也为递增的。而k必 为正值,那么可知V也为递增的。 这样,水葫芦的増长必定越來越快, 所以我们必须及时对它进行治理。否则其 必将迅速蔓延,无法控制。以下我们将讨 论如何治理

8 6.水葫芦数量增长分析 我们由假设可知流速函数f ( t )必为递 增的，且其一阶导数也为递增的。而k必 为正值，那么可知v也为递增的。 这样，水葫芦的增长必定越来越快， 所以我们必须及时对它进行治理，否则其 必将迅速蔓延，无法控制。以下我们将讨 论如何治理

7,水葫芦治理方法 ■截断上游漂移的水葫芦 大力打捞漂浮在水域中的水葫芦 运用生物(如象甲)防治以降低水葫芦繁 殖速度 破坏水葫芦生态系统

9 7.水葫芦治理方法 截断上游漂移的水葫芦 大力打捞漂浮在水域中的水葫芦 运用生物（如象甲）防治以降低水葫芦繁 殖速度 破坏水葫芦生态系统

8各种方法的单独应用(1) 我们先使用打捞这一最简单的方法。设 V(O)=10000吨/月,而流速f(t)为500e吨/月,且 k=0.5.每月可打捞4000吨,那么我们可以得出 方程如下 =500et+05V at v(O)=10000

10 8.各种方法的单独应用（1） 我们先使用打捞这一最简单的方法。设 v(0)=10000吨/月，而流速f( t )为 吨/月,且 k=0.5，每月可打捞4000 吨,那么我们可以得出 方程如下： t 500e = = + (0) 10000 500 0.5 v e v dt dv t