复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）Dufork-Frankel格式分析

格式分 曲径 0018138

曲径 0018138

■算法的提出 实例验证 理论分析 相容性分析 一稳定性分析 结论 DuFork- Franke格式分析一曲径 2

DuFork-Frankel格式分析----曲径 2 提纲 ◼ 算法的提出 ◼ 实例验证 ◼ 理论分析 – 相容性分析 – 稳定性分析 ◼ 结论

扩散方程 的 Richardson格 式是一个二阶精度的三层显格式 1+t21+1 2L!+ 2T h 并且我们已经知道其截断误差为R=Ox2+h2) 阶数高于古典显格式和古典隐格式,但是由于 它无条件不稳定,不能应用在计算在中。 DuFork- Franke格式分析一曲径 3

DuFork-Frankel格式分析----曲径 3 算法的提出 扩散方程 的 Richardson格 式是一个二阶精度的三层显格式： 并且我们已经知道其截断误差为 阶数高于古典显格式和古典隐格式，但是由于 它无条件不稳定，不能应用在计算在中。 2 1 1 1 1 2 2 h u u u a u u j i j i j i j i j i + − + + − + = +  2 2 x u a t u   =   R O( h ) j 2 2 i =  +

课本中为我们提供了一种 Richardson格式的改 进格式 DuFork- Frankel格式,用u+u 代替了2u},这仍然是一个三层格式,用到 四个点的值:(i-1,j),(i+1,j),(i,j+1), (i,j-1),但是我们的课本中只提到了这个差 分格式,却没有进行任何分析,计算或证明, 为了验证它对 Richardson格式改进后的真实效 果,下面就来讨论 DuFork- Frankel格式。 DuFork- Franke格式分析一曲径

DuFork-Frankel格式分析----曲径 4 算法的提出 课本中为我们提供了一种Richardson格式的改 进格式DuFork-Frankel格式，用 代替了 ，这仍然是一个三层格式，用到 四个点的值: (i-1,j)，(i+1,j)，(i,j+1)， (i,j-1) ，但是我们的课本中只提到了这个差 分格式，却没有进行任何分析，计算或证明， 为了验证它对Richardson格式改进后的真实效 果，下面就来讨论DuFork-Frankel格式。 j 1 i j 1 i u u + − + j 2ui

DuFork- Frankel格式为 (u×1 1i+1 -a-1+1-(u fu +u 0 2τ h 由于 DuFork- Frankel格式是一个三层格式,在 计算中初始条件后的第一层是不能用 DuFork Frankel格式得到的,所以选择了二阶精度的 rand- Nicholson格式先求出第一层,再进行 DuFork- Frankel格式的计算。 DuFork- Franke格式分析一曲径 5

DuFork-Frankel格式分析----曲径 5 算法的提出 0 2 h j i 1 ) u j 1 i u j 1 i (u j i 1 u a 2τ ) j 1 i u j 1 i (u = − + + + − − + − − − + DuFork-Frankel格式为： 由于DuFork-Frankel格式是一个三层格式，在 计算中初始条件后的第一层是不能用DuFork￾Frankel格式得到的，所以选择了二阶精度的 Crand-Nicholson格式先求出第一层，再进行 DuFork-Frankel格式的计算

险 具体的差分格式,我们只考虑最基本的抛物型 方程 Z Ot 2 u(o,t=u(l, t=o Z(x2O)=g(×) ⅹ∈DO,1/2 x∈(1/2,11 应用 DuFork- Frankel格式进行如下计算。 DuFork- Franke格式分析一曲径 6

DuFork-Frankel格式分析----曲径 6 实例验证 具体的差分格式，我们只考虑最基本的抛物型 方程 应用DuFork-Frankel格式进行如下计算。               = = = =   =   1- x x (1/2,1] x x [0,1/2] (x, 0) (x) (0, t) (1, t) 0 2 2 u  u u x u t u

险 首先,不固定网比r,而是选用h=1/16,τ分 别取1/160,1/16和1/4,也就是使℃和h 的比值小于1,等于1和大于1。这时候计算结 果发生了如下现象。 DuFork- Franke格式分析一曲径

DuFork-Frankel格式分析----曲径 7 实例验证 首先，不固定网比 r，而是选用h=1/16， 分 别取1/160，1/16和1/4，也就是使 和 h 的比值小于1，等于1和大于1。这时候计算结 果发生了如下现象。 τ τ

险 工=IIQO 0.25 DuFork- Franke格式分析一曲径

DuFork-Frankel格式分析----曲径 8 实例验证 τ =1/160

险 工==IIQ DuFork- Frankel格式 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.8 20 20 DuFork- Franke格式分析一曲径 9

DuFork-Frankel格式分析----曲径 9 实例验证 τ = h =1/16

险 工=I寸 DuFork- Franke格式 100 DuFork- Franke格式分析一曲径 10

DuFork-Frankel格式分析----曲径 10 实例验证 τ =1/4