复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（作业习题）弱肉强食模型

弱肉强食模型 孙欢 0118090 复旦大学 2004.0502

1 弱肉强食模型 孙欢 0118090 复旦大学 2004.05.02

0提要 4模型背景 4问题提出与方程建立 4数值模拟及观察 4模型理论分析 4模型改进 斗改进模型的数值模拟 4改进模型的分析

2 0.提要 模型背景 问题提出与方程建立 数值模拟及观察 模型理论分析 模型改进 改进模型的数值模拟 改进模型的分析

1.问题背景 >意大利数学家t0. Volterra在上世 纪20年代就地中海鲨鱼和经济鱼 类的数量关系建立了一个著名的 >模型的意义:预测生态环境中的 物种数量,保证其稳定性,并以 模型为指导进行渔业开发,保持 经济与生态的可持续发展。此外 在其他领域也存在类似的弱肉强 食问题,例如教材中提到的杀虫 剂的便用反而会使害虫数量增加 而益虫数量减少

3 1.问题背景 意大利数学家Vito.Volterra 在上世 纪20年代就地中海鲨鱼和经济鱼 类的数量关系建立了一个著名的 “弱肉强食模型”。 模型的意义：预测生态环境中的 物种数量，保证其稳定性，并以 模型为指导进行渔业开发，保持 经济与生态的可持续发展。此外 在其他领域也存在类似的弱肉强 食问题，例如教材中提到的杀虫 剂的使用反而会使害虫数量增加 而益虫数量减少

2问题的提出(1) 设 弱者(如食用的经济鱼类) 数量为x(t ◆强者(如鲨鱼)数量为y(t) ◆弱者的净增长率为r ◆捕捞率为k ◆被单位强者捕食的比率为e 大黄鱼 则成立x

4 2问题的提出（1）. 设  弱者（如食用的经济鱼类） 数量为x(t),  强者（如鲨鱼）数量为y(t)  弱者的净增长率为r  捕捞率为k  被单位强者捕食的比率为e 则成立 ' ( ) x r k ey x = − −

3问题的提出(2) 设 G强者的自然死亡率为d, 弱者为其提供了食物使其 赖以生存,提高了它的增 长率,假定这个增长率1 与弱者的数量x(t)成正比 则有 -d+k)+lx 5

5 3.问题的提出（2） 设  强者的自然死亡率为d，  弱者为其提供了食物使其 赖以生存，提高了它的增 长率，假定这个增长率l 与弱者的数量x(t)成正比 则有 ' ( ) y d k lx y = − + +

4.完整的方程组 最后的方程组就是 dt xI(r-k)-ey y-(d+k)+x] 这一模型即为达尔文 主义的数学表达

6 4.完整的方程组 0 [( ) ] [ ( ) ] y(0)=y dx x r k ey dt dy y d k lx dt = − − = − + + 0, 最后的方程组就是 x(0)=x 这一模型即为达尔文 主义的数学表达

5.数值模拟 假定r=0.09e=0.004d=0.01k=0011=002 方程组即为 =0.08x-0.004x dt 0.02y+00002xy dt 然后我们取不同的初值来模拟一下两种鱼类的数量变化 本次 project里解方程用的都是 Matlab中的ode45

7 5.数值模拟 r=0.09 e=0.004 d=0.01 k=0.01 l=0.0002 0.08 0.004 0.02 0.0002 dx x xy dt dy y xy dt = − = − + 假定 方程组即为 然后我们取不同的初值来模拟一下两种鱼类的数量变化。 本次project里解方程用的都是Matlab中的ode45

5数值模拟实例(1) the initial value of (prey predator=(10.0 ◆若初始时没有鲨 Predator 鱼只有经济鱼类 那么经济鱼因为∞ 没有天敌,数量a 呈指数增长。 ◆这事实上就是1m Malthus 人口模型 10 40 70

8 5.数值模拟实例（1）  若初始时没有鲨 鱼只有经济鱼类， 那么经济鱼因为 没有天敌，数量 呈指数增长。  这事实上就是 Malthus人口模型

5数值模拟实例(2) ◆若一开始没 the initial value of (prey predator=(. 100 P 有经济鱼而 Predator 有鲨鱼, 那么可想而 知,鲨鱼最 终会因为没 有食物而灭 绝。(如右a 图) 100200300400500600700800

9 5.数值模拟实例（2）  若一开始没 有经济鱼而 只有鲨鱼， 那么可想而 知，鲨鱼最 终会因为没 有食物而灭 绝。（如右 图）

5数值模拟实例(3) the initial value of (prey predator)=(110, 25) Prey Predator 120 s100 E

10 5.数值模拟实例（3）