复旦大学：《高等数学》课程学习园地_Koch雪花

Koch雪花 直观上往往会认为,一个面积有限的图形,其周长也应该是有限的,但事实 上并非如此。下面做出的Koch雪花就是一个面积为有限但周长为无限的图形 Koch雪花的构造方法:先给定一个正三角形,然后在每条边的中间上向外 生成边长为原边长的1/3的小正三角形.如此类推,无休止地在每条边上都做类 似的操作(称之为迭代),就得到了面积有限而周长无限的图形——Koch雪花 第一次迭代 第二次迭代 第三次迭代

Koch 雪花 直观上往往会认为，一个面积有限的图形，其周长也应该是有限的，但事实 上并非如此。下面做出的 Koch 雪花就是一个面积为有限但周长为无限的图形。 Koch 雪花的构造方法: 先给定一个正三角形，然后在每条边的中间上向外 生成边长为原边长的 1/3 的小正三角形. 如此类推，无休止地在每条边上都做类 似的操作（称之为迭代），就得到了面积有限而周长无限的图形——Koch 雪花. 第一次迭代 第二次迭代 第三次迭代

Mr? Ug 第四次迭代 第五次迭代 最终图像 设正三角形边长为a,则其周长为Ln=3a,面积为4=3a 易计算得: 第一次迭代后的图形,周长为L1=1,面积为A=A+3·A 第二次选代后的图形,周x,M=/)2 面积为 A2=A+344=4+3·4+34|4

第四次迭代 第五次迭代 最终图像 设正三角形边长为 a，则其周长为 ，面积为 . 易计算得： 第一次迭代后的图形，周长为 ，面积为 . 第二次迭代后的图形，周长为 ， 面积为 0 L a  3 2 0 3 4 A a  1 0 4 3 L L  1 0 0 1 3 9 A A A    2 2 1 0 4 4 3 3 L L L         2 2 1 0 1 3 4 9 A A A          2 1 0 0 0 1 1 3 3 4 . 9 9 A A A           

一般地,第n次迭代后的图形,周长为L=(4)1n=3 面积为 A=4+34+34|4+…+3 Ao Al1 11-(4/9) 3(9 31-(4/9) 因此,最终图形的面积为 lim A==4o 周长为 lim L 结论:Koch雪花的面积是有限的,而周长是无限的

一般地，第 n 次迭代后的图形， 周长为 面积为 因此，最终图形的面积为 周长为 结论：Koch 雪花的面积是有限的，而周长是无限的. 0 4 4 3 , 3 3 n n L L a n               2 1 0 0 1 1 4 1 4 1 4 1 1 (4 / 9) 1 1 . 3 3 9 3 9 3 9 3 1 (4 / 9) n n A A                                             2 1 0 0 0 0 1 1 1 3 3 4 3 4 9 9 9 n n A A A A A n                        lim . n n L    2 0 8 2 3 lim . 5 5 n n A A a   