复旦大学：《高等数学》课程练习题（微积分）_极限与连续练习题

极限与连续练习题 §1函数 1.确定下列初等函数的定义域: (1)f(x) x)=arctan+1 (2)f(x)=√2sm2x In( tan 2.作出下列函数的图像 (1)f(x)=x(sin x (2)f(x)=1-|x2-1 (3)f(x)= 0≤x≤1, 1<x<2 3.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=sn (2)f(x)=Inlsecx+ tanx (3) f(x)=arctan2-- (4)f(x)=arccosx-sin x 4.设函数f满足:D(/)关于原点对称,证明:∫可表示成一个奇函数与一个偶 函数之和 5.设函数∫定义在(-,+∞)上。若有常数c≠0,使得f(x+c)=-f(x), x∈(-∞,+∞)。证明:函数∫是一个周期函数 6.下列函数中,哪些是周期函数?如果是周期函数,写出它们的最小正周期 )f(x)=m2 (3)f(x)=0sx (4)f(x)=cot(3x+1)。 7.判断下列函数在给定区间上是否有界 (1)f(x) ∈R (2)f(x)=x2tanx,x∈0 (3)f(x)= x∈(0,1); (4)f(x)=lnx-100snx,x∈(1,+∞)

极限与连续练习题 §1 函数 1.确定下列初等函数的定义域： (1) 2 1 ( ) arctan   x f x ； (2) ( ) 2sin 3cos 3 2 f x  x  x  ； (3) 1 ln( 2 ) ( ) 2    x x f x ； (4) 2 4 tan ( ) x x f x   。 2.作出下列函数的图像： （1） f (x)  xsin x ； (2) ( ) 1 | 1| 2 f x   x  ； （3）           , 1 2. 2 , 0 1, ( ) 2 2 x x x x x f x 3.判断下列函数的奇偶性： （1） 2 2 1 ( ) sin x x f x   ； （2） f (x)  ln secx  tan x ； （3） 4 ( ) arctan2    x f x ； （4） f x x sin x 2 ( ) arccos          。 4. 设函数 f 满足： D( f ) 关于原点对称，证明： f 可表示成一个奇函数与一个偶 函数之和。 5．设函数 f 定义在 (, ) 上。若有常数 c  0 ，使得 f (x  c)   f (x) ， x(, ) 。证明：函数 f 是一个周期函数。 6．下列函数中，哪些是周期函数？如果是周期函数，写出它们的最小正周期： （1） f (x)  x tan x ； （2） f (x)  sin 2x ； （3） x x f x cos ( )  ； （4） f (x)  cot(3x 1)。 7．判断下列函数在给定区间上是否有界： （1） 2 1 ( ) x x f x   ， x  R ； （2） f (x) x tan x 2  ，        4 0,  x ； （3） x x f x   1 ( ) ， x(0,1) ； （4） f (x)  ln x 100sin x， x(1,  )

0.x<0. 8.设f(x)= g(x) 0, x2,x≤0,求f°8,gof,J°f,g°g 0 9.下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成 (1)f(x)= (2)f(x)=In(1+arctan x) (3)f(x)=cos3(+√x)。 10.求下列函数的反函数,并指出反函数的定义域 (1) f(x)=tan 丌<x<3 (2)f(x)= (3)f(x)=1-√1-x2,-1≤x<0 (x-丌),0≤x<丌 (4)f(x)= sIn x 丌≤X≤-丌 .设f(x)= 记f(x)=f(x),fn1(x)=f(n(x)(n=1,2,…),证明 f (x= (n=12.…)。 + nx 2数列的极限 1.用定义证明 (1) lim n2+2n1 2)lim n( 2.求下列极限 (1) lim n (2)lim 5n2+4 n2+2 n→n+2n (3)lim 3n+2n (4) lim arctan 2 1+√2+…+Vn (5)lim (6)im n→∞2+2n+2 (7)lim 12+1+√2 +2 +…+Vn2+n-m(n+1) (8)lim 3.求极限lm mm n2+n+1 n2+n+2 n+n+n

8．设       2 , 0, 0, 0, ( ) x x f x x        , 0. , 0, ( ) 2 2 x x x x g x 求 f  g ， g  f ， f  f ， g  g 。 9．下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成： （1） x f x e 2 ( )  1 ； （2） ( ) ln(1 arctan ) 2 f x   x ； （3） ( ) cos (1 ) 3 f x   x 。 10．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域： （1） 2 ( ) tan x f x  ，   x  3 ； （2） x x f x 1 2 1 2 ( )    ； （3） 2 f (x)  1 1 x ，1  x  0 ； （4）           . 2 3 sin , ( ) , 0 , ( ) 2     x x x x f x 11．设 2 1 ( ) x x f x   ，记 ( ) ( ) 1 f x  f x ， ( ) ( ( )) 1 f x f f x n  n （ n 1,2,  ），证明 2 1 ( ) nx x f x n   （ n 1,2,  ）。 §2 数列的极限 1． 用定义证明： （1） n lim 2 1 2 1 2 2 2    n n n ； （2） n lim ( 2 ) 1 2 n n   n  。 2．求下列极限： （1） n lim 2 2 2 2   n n n ； （2） n lim n n n 2 5 4 3 2   ； （3） n lim 2 3 2 3 4   n n n ； （4） n lim ln( 1) arctan n  n ； （5） n lim n n n n 2 2 2 2 2 1 2 2     ； （6） n lim n n n 1 2  ； （7） n lim              ( 1) 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 n n n n n  ； （8） n lim n n        1 1 。 3． 求极限 n lim                n n n n n n n n 2 2 2 2 2 1 1 

4.利用“单调有界数列必收敛”,证明下列数列{xn}收敛,并求出它们的极限: (1)-10,an+4 (n=12…,证明数列{an}收敛,并求出 6.设x1=1,x2=2,xn2=3xn1-2xn,n=1,2,…,求极限 设x1=1 n=1,2,…。证明数列{xn}收敛,并求出其极限 8.利用不等式(1+4)”≥1+Mn(A>-1,n∈N),证明数列{1+-}严格单 调增加,{1+ 严格单调减少,从而证明这两个数列都收敛且极限相等 9.利用不等式,x0),证明数列{an}收敛,其中 In 10.利用 Cauchy收敛准则,讨论以下数列{xn}的敛散性 n(n+1) (3) §3函数的极限 用定义证明下列极限: (2) lim tanx=0 x2+23 设)=40,用定义证明n1 3.求下列极限 2x2-6 9 2x+4 (3) lim sin 2x-sinx (丌-x);

4． 利用“单调有界数列必收敛”，证明下列数列{ n x }收敛，并求出它们的极限： （1） 2 1 1 0, n 1 2 n n   x  x  x  x  ，n 1,2,  ； （2） n n x  x   x 1 2, 1 2 ，n 1,2,  ； （3） n n x x x 1 1  1, 1  1 ，n 1,2, 。 5． 设 a0  0 ， n1 a =          3 81 3 4 1 n n a a （ n 1,2,  ），证明数列 { }n a 收敛，并求出 n lim n a 。 6． 设 x1  1, x2  2, xn2  3xn1  2xn , n  1,2,  ，求极限 n n n x x 1 lim   。 7． 设 , 1,2, 1 1 1, 1 1      n x x x n n 。证明数列{ n x }收敛，并求出其极限。 8． 利用不等式 n n (1 )  1  （   1，  nN ），证明数列                n n 1 1 严格单 调增加，                1 1 1 n n 严格单调减少，从而证明这两个数列都收敛且极限相等。 9． 利用不等式 x x x x     ln(1 ) 1 （ x  0 ），证明数列{ n a }收敛，其中 n n an ln 1 2 1  1   。 10．利用 Cauchy 收敛准则，讨论以下数列{ n x }的敛散性： （1） ! 2 2! 2 1 2 2 n x n n    ； （2） ( 1) sin 2 3 sin 2 1 2 sin1        n n n xn  ； （3） 2 1 1 5 1 3 1 1       n xn  。 §3 函数的极限 1. 用定义证明下列极限： （1） 2 lim x 3 1 2 3 2 2     x x x ； （2） 0 lim x tan x  0。 2. 设 xa lim f(x) = A  0 ，用定义证明 xa lim f x A 1 ( ) 1  。 3. 求下列极限： （1） 2 lim x 2 4 2 6 2 2    x x x ； （2） 3 lim x 2 3 9 2 2    x x x ； （3） 0 lim x x sin 2x  sin x ； （4） x lim ( ) sin 1 cos x x x    ；

(5) lim arcsin 2 J cOs x-cos 2x (6) x→0 arctan xsin 2x (7)i tan(x +h)-tanx (8)lim1+2 h (1+x)2-1 (12) lim (14) lim 讨论函数 x∈(0,1 fo x xsin x∈ 在x=0,1,2,3这四个点的单侧极限。 5.讨论f(x)=bm]在x=0.x,x这三个点处的单侧极限。 6.求极限 lim sin( 7.求极限lim√x3(√x+1-2√x+√x-1)。 §4连续函数 1.用定义证明y= arctan为连续函数 2.确定下列函数的间断点及其类型 2 (1)f(x) (2)f(x) (x-1) (3)f(x)= (4)f(x)=xsin-+cos tan x (5)f(x)=[x]+[-x] (6)f(x)=(1+2x)x。 3.求下列极限: (1)lim (2)lmx(x2+1 x+sin x (4)lim x- x x→3 (5)lim [1+In(x+DIsin (6)lim x ai-a+l(a>0)

（5） 0 lim x x x arctan arcsin 2 ； （6） 0 lim x x x x x sin 2 cos  cos 2 ； （7） 0 lim h h tan(x  h)  tan x ； （8） x lim x x 3 2 1        ； （9） x lim 3 2 1 x x        ； （10） x lim x x x         4 3 5 3 ； （11） 0 lim x x (1 x) 1 2 3   ； （12） x lim  x  x  x  x  2 2 3 ； （13） x lim  x  x  x  x  2 2 3 ； （14） x x x 1 2 2 lim   。 4. 讨论函数              sin , (2, 3) cos , (1, 2], , (0, 1], 1 1 ( ) x x x x x x x x x f x   在 x = 0，1，2，3 这四个点的单侧极限。 5. 讨论 f (x)  sin x 在   , 2 x  0, 这三个点处的单侧极限。 6. 求极限 n lim sin( 1) 2  n  。 7. 求极限 x lim ( 1 2 1) 3 x x   x  x  。 §4 连续函数 1．用定义证明 y  arctanx 为连续函数。 2．确定下列函数的间断点及其类型： （1） f (x)  ( 1) 2 x x  ； （2） f (x)  1 1 2   x x ； （3） f (x)  x x tan ； （4） f (x)  x x x 1 cos 1 sin  ； （5） f (x)  [x][x] ； （6） f (x)  x x 1 (1 2 ) 。 3．求下列极限： （1） 2 lim x 2 7 3    x x ； （2） x lim ( 1 1) 2 2 x x   x  ； （3） x lim x x x x cos sin   ； （4） 3 lim x 3 3 3   x x x ； （5） 0 lim x x x sin 2 [1 ln( 1)] ； （6） x lim          1 1 1 2 x x x a a (a  0) ；

(7)lim x2arcsin (8) lim xl-x: x+1 (9)m边+4x1+3x-1 (10) lim In 2 4.当x→0时,用x的幂函数表示下列函数的等价无穷小量 (1) (2) e-cosx (3)(1+ (4)√1+4x2-11+4 5.求曲线y 的渐近线 x+2 6.求曲线y=√x2+2x+2的渐近线 7.求曲线ysx3-x 的渐近线 8.设∫是(0,+∞)上的连续函数,且f(x)=f(x2),x∈(0,+∞),证明f(x)在 (0,+∞)上为常数。 9.设∫是[0,1上的非负连续函数,且f(O)=f(1)=0,证明:对于a∈(O,1),存 在ξ∈[O,1,使得f(5+a)=f(5)。 10.设∫是[O,上的连续函数,且f(O)=f(),证明:对于每个正整数n,存在 5∈0,],使得川5+-|=f(5) n

（7） x lim         1 1 arcsin 1 arcsin 2 x x x ； （8） 1 lim x x x x 1 ； （9） 0 lim x x 1 4x 1 3x 1 3 4     ； （10） n n n                     ln 2 1 ln 2 lim 。 4．当 x  0 时，用 x 的幂函数表示下列函数的等价无穷小量： （1） x x 2 3  4sin ； （2） e x x  cos ； （3） (1 ) 1 ln(1 )   x x ； （4） 2 4 2 1 4x  1 4x 。 5. 求曲线 2 1    x x y 的渐近线。 6. 求曲线 2 2 2 y  x  x  的渐近线。 7. 求曲线 6 2 3     x x x x y 的渐近线。 8. 设 f 是 (0, ) 上的连续函数，且 ( ) ( ) 2 f x  f x ， x (0, ) ，证明 f (x) 在 (0, ) 上为常数。 9. 设 f 是 [0,1] 上的非负连续函数，且 f (0)  f (1)  0 ，证明：对于 a(0,1) ，存 在  [0, 1] ，使得 f (  a)  f ()。 10. 设 f 是 [0,1] 上的连续函数，且 f (0)  f (1) ，证明：对于每个正整数 n ，存在  [0,1] ，使得 ( ) 1  f  n f        