复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_二次型练习题

二次型练习题 §1二次型及其标准形式 1.用正交变换将下列二次型 f( )=x2+4x2+4x3-4x1x2+4 化为标准形,并写出所用的变换。 2.利用配方法和初等变换法二次型 2x2+5x2+4x2+4 4 化为标准形,并写出所用的变换 3.若二次型 f(x1,x2,x3)=x2+x2+bx32+6x1x2+4x1x3+ 的秩为2,求t 4.已知二次型∫(x1,x2,x)=a(x12+x2+x32)+4xx2+4x3+4x2x3经正交变换 可化为标准形∫=6y2,求a 5.已知实二次型f(x1,x2,x3)=ax2+2x2-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型 的相伴矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12。 (1)求参数a,b; (2)利用正交变换将∫化为标准形,并写出所用的变换 6.已知实二次型f(x1,x2,x3)=ax2+3x2+5x32+4xx3-4x3经正交变换 x=P化为标准形∫=y2+ay2+b3,求a,b。 (1)求参数a,b (2)求所用的正交变换 7.求二次型f(x,x2,x3)=2x2+ax2+ax32+6x2x3(a>3)的规范形。 8.已知实二次型f(x1,x2,x3)=x2+2x2+b32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的正惯性指数 为3,求参数t的取值范围 9.设二次型f(x,x2,x)=5x2+5x2+ax32+2xx2+6xx3+2bx2x3的相伴矩阵为 A,且已知A的特征值为-5,6,6 (1)求a,b的值 (2)说明方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。 10.已知二次型f(x1,x2,x3)=xAx,其中A是3阶实对称矩阵,且有特征值

二次型练习题 §1 二次型及其标准形式 1．用正交变换将下列二次型 f (x1 , x2 , x3 )  1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 x1  4x  4x  4x x  4x x 8x x 化为标准形，并写出所用的变换。 2．利用配方法和初等变换法二次型 f (x1 , x2 , x3 )  1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2x1  5x  4x  4x x  4x x 8x x 化为标准形，并写出所用的变换。 3．若二次型 f (x1 , x2 , x3 )  1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 x1  x  tx  6x x  4x x  2x x 的秩为 2，求 t 。 4．已知二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  a(x1  x  x )  4x x  4x x  4x x 经正交变换 可化为标准形 2 6 1 f  y ，求 a 。 5．已知实二次型 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  ax1  2x  2x  2bx x （ b  0 ），其中二次型 的相伴矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12。 （1）求参数 a ，b ； （2）利用正交变换将 f 化为标准形，并写出所用的变换。 6 ． 已 知 实 二次型 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  ax1  3x  5x  4x x  4x x 经 正 交 变 换 x  Py 化为标准形 2 3 2 2 2 f  y1  ay  by ，求 a ，b 。 （1）求参数 a ，b ； （2）求所用的正交变换。 7．求二次型 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  2x1  ax  ax  6x x （ a  3 ）的规范形。 8．已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  x1  2x  tx  2x x  4x x  2x x 的正惯性指数 为 3，求参数 t 的取值范围。 9．设二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 )  5x1  5x  ax  2x x  6x x  2bx x 的相伴矩阵为 A ，且已知 A 的特征值为 5，6，6。 （1）求 a ，b 的值； （2）说明方程 f (x1 , x2 , x3 ) 1 表示何种二次曲面。 10．已知二次型 x Ax T f (x1 , x2 , x3 )  ，其中 A 是 3 阶实对称矩阵，且有特征值

A=2,凡2=3,A3=0。若A的对应于特征值=2,2=3的特征向量分别为 a1=(1,1,0)和a2=(,-1,1),求此二次型的表达式。 11.设A是奇数阶实对称矩阵,且|A卜>0。证明:存在向量x0,使得xAx>0 12.设∫(x1,x2…xn)=xAx是实二次型。证明:若存向量x1,x2∈R",使得 f(x1)=xAx1>0,f(x2)=x2Ax2<0,则存在x3≠0∈R”,使得 f(x3)=x3Ax3=0。 13.设A是n阶实对称矩阵。证明:二次型f(x,x2…,x)=xAx在条件x|=1 下的最大值不超过A的最大特征值。 14.证明实二次型的秩r与符号差p-q同是奇数或偶数,并且成立p-qr 15.已知A是n阶实对称矩阵,且A2=O,证明A=O 16.设A是n阶实对称矩阵,B,C是n阶非零矩阵。已知(A-Ln)B=O, (A+2C=O,且rank(B)+rank(C)=n,rank(B)=r,写出二次型 f(x)=xAx的一个标准形 17.已知A=(an)是n阶实对称矩阵,且rank(4)=n。记A为an的代数余子式 (,j=1,2,…,n),并设 f(x,x…x)=∑∑x,一 (1)记X=(x1,x2…,xn),把f(x1,x2…x,)写成矩阵形式,并证明二次型f(X) 的相伴矩阵为A-; (2)问二次型g(X)=XAX与f(X)的规范形是否相同?并说明理由 18.求函数 2x2+y2-4xy-4y f(x,y,=)= y2+z2≠0) 的最大值和最小值,并找出一个最大值点和最小值点。 §2正定二次型 1.判断下列二次型的正定性

1  2，2  3，3  0 。若 A 的对应于特征值 1  2，2  3 的特征向量分别为 T (1, 1, 0) a1  和 T (1, 1,1) a2   ，求此二次型的表达式。 11．设 A 是奇数阶实对称矩阵，且 | A| 0 。证明：存在向量 x0 ，使得 x0 Ax0  0 T 。 12．设 f (x1 , x2 ,  , xn )  x Ax T 是实二次型。证明：若存向量 1 x ， 2 x n R ，使得 (x1 )  x1 Ax1  0 T f ， ( 2 )  x2 Ax2  0 T f x ，则存在 x3  0 n R ，使得 (x3 )  x3 Ax3  0 T f 。 13．设 A 是 n 阶实对称矩阵。证明：二次型 f (x1 , x2 ,  , xn )  x Ax T 在条件 || x ||1 下的最大值不超过 A 的最大特征值。 14．证明实二次型的秩 r 与符号差 p  q 同是奇数或偶数，并且成立 | p  q | r 。 15．已知 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A  O 2 ，证明 A  O。 16．设 A 是 n 阶实对称矩阵， B ， C 是 n 阶非零矩阵。已知 (A I n )B  O ， (A 2I n )C  O ， 且 rank (B)  rank (C)  n ， rank (B)  r ，写出二次型 x x Ax T f ( )  的一个标准形。 17．已知 ( ) A  aij 是 n 阶实对称矩阵，且 rank (A)  n 。记 Aij 为 ij a 的代数余子式 （ i, j 1, 2,  , n ），并设    n i n j i j ij n x x A f x x x 1 1 1 2 | | ( , , , ) A  。 （1）记 T n (x , x , , x ) X  1 2  ，把 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 写成矩阵形式，并证明二次型 f (X) 的相伴矩阵为 1 A ； （2）问二次型 X X AX T g( )  与 f (X) 的规范形是否相同？并说明理由。 18．求函数 2 2 2 2 2 2 4 4 ( , , ) x y z x y xy yz f x y z       （ 0 2 2 2 x  y  z  ） 的最大值和最小值，并找出一个最大值点和最小值点。 §2 正定二次型 1． 判断下列二次型的正定性：

(1)90x2+130x2+71x2-12x1x2+48x1x3-60x2x3 (2)-5x-6x2-4x3+4x1x2+4x1x3 (3)10x2+2x2+x3+8x1x2+24x1x3-28x2x3 2确定A的取值范围,使得二次型2x2+(2+4)x2+x32+2x1x2-2x3+x2x3为 正定的。 3.确定的取值范围,使得二次型x2+x2+5x2+2x1x2-2x1x3+4x2x3为正定 的 (a+3)x+x2+2x3=0, 4.已知齐次线性方程组{2ax+(a-1)2+x=0有非零解,且矩阵 (a-3)x1-3x2+ax3=0 A=1a-2|正定,求a的值。 29 5.设A是n阶正定矩阵,>0。证明|A+Mn卜"。 101 6.设A=|020,B=(k+4)2 (1)求对角矩阵A,使得B与A相似; (2)问当k为何值时,B是正定矩阵 7.设n阶实对称矩阵A满足A-442+5A=2n,证明A是正定矩阵 8.设n阶实对称矩阵A满足A2=A,且rank(A)=r。k≥1为正整数 (1)证明In+A+A2+…+4是正定矩阵; (2)求Ln+A+A12+…+4 9.判断二次型∑x+∑xx的正定性 10.用正交变换法将二次型∑x2+ x,化为标准形,并说明它是否正定 11.设A为3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=O,rank(A)=2 (1)求A的全部特征值 (2)问当k为何值时,矩阵A+M是正定的? 12.设A是一个n阶实对称矩阵,证明:当t充分小时,I+1A4是正定矩阵 13.设A,B是n阶半正定矩阵,α,β为正数,证明a4+BB也是半正定矩阵 14.设A是n阶正定矩阵,B是n阶非零半正定矩阵。证明:AB的特征值大于 或等于0 15.设a,B,y是一个三角形的内角。证明:对于任意实数x,y,z成立 x2+y2+z2≥2 ncos a+2 xE cos B+2 y- cosy。 16.设A是m×n实矩阵,B=Mn+AA。证明:当λ>0时,B是正定矩阵 17.设A是n阶正定矩阵,a1,a2…an是都是非零n维列向量,满足aAa1=0

（1） 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 90x1 130x  71x 12x x  48x x  60x x ； （2） 1 2 1 3 2 3 2 2 2  5x1  6x  4x  4x x  4x x ； （3） 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 10x1  2x  x  8x x  24x x  28x x 。 2．确定  的取值范围，使得二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2x1  (2  )x  x  2x x  2x x  x x 为 正定的。 3．确定  的取值范围，使得二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 x1  x  5x  2x x  2x x  4x x 为正定 的。 4 ． 已 知 齐 次 线 性 方 程 组                  ( 3) 3 0 2 ( 1) 0, ( 3) 2 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a x x ax ax a x x a x x x 有 非 零 解 ， 且 矩 阵              2 2 9 1 2 3 1 2 A a 正定，求 a 的值。 5．设 A 是 n 阶正定矩阵，   0 。证明 n | A I n |  。 6．设            1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ， 2 B  (kI  A) 。 （1）求对角矩阵 Λ ，使得 B 与 Λ 相似； （2）问当 k 为何值时， B 是正定矩阵。 7．设 n 阶实对称矩阵 A 满足 n A 4A 5A 2I 3 2    ，证明 A 是正定矩阵。 8．设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A  A 2 ，且 rank (A)  r 。k 1 为正整数。 （1） 证明 k I n  A A  A 2 是正定矩阵； （2） 求 | | 2 k I n  A A  A 。 9．判断二次型        1 1 1 1 2 n i i i n i i x x x 的正定性。 10．用正交变换法将二次型        i j n i j n i i x x x 1 1 2 化为标准形，并说明它是否正定。 11．设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足 A  2A  O 2 ，rank (A)  2 。 （1） 求 A 的全部特征值； （2） 问当 k 为何值时，矩阵 A kI 是正定的？ 12．设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，证明：当 t 充分小时， I n  tA 是正定矩阵。 13．设 A ，B 是 n 阶半正定矩阵，  ， 为正数，证明 A B 也是半正定矩阵。 14．设 A 是 n 阶正定矩阵， B 是 n 阶非零半正定矩阵。证明： AB 的特征值大于 或等于 0。 15．设  ，  ， 是一个三角形的内角。证明：对于任意实数 x ， y ， z 成立 2 cos 2 cos  2 cos 2 2 2 x  y  z  xy  xz  yz 。 16．设 A 是 mn 实矩阵， B I A A T   n  。证明：当   0 时， B 是正定矩阵。 17．设 A 是 n 阶正定矩阵， a a an , , , 1 2  是都是非零 n 维列向量，满足 j  0 T ai Aa

(i≠j)证明:a1,a2,…,a线性无关 18设A=(an),B=(b)为n阶正定矩阵。证明:C=(anb)是正定矩阵。 19.已知D= 是正定矩阵,其中A,B分别为m阶、n阶对称矩阵,C 为m×n矩阵。 (1)若P=11C),计算PD (2)证明B-CAC是正定矩阵。 20.已知A,B是同阶正定矩阵,且A-B是半正定矩阵。证明B--A-是半正 定矩阵

（ i  j ）证明： a a an , , , 1 2  线性无关。 18．设 ( ) A  aij ， ( ) B  bij 为 n 阶正定矩阵。证明： ( ) C  aijbij 是正定矩阵。 19．已知          C B A C D T 是正定矩阵，其中 A ，B 分别为 m 阶、 n 阶对称矩阵， C 为 mn 矩阵。 （1） 若            n m O I I A C P 1 ，计算 P DP T ； （2） 证明 B C A C 1  T 是正定矩阵。 20．已知 A ，B 是同阶正定矩阵，且 A B 是半正定矩阵。证明 1 1 B  A 是半正 定矩阵