复旦大学：《高等数学》课程学习园地_处处不可导的连续函数

处处不可导的连续函数 常见的连续函数在其绝大部分连续点上总是可导的,因此人们一直猜测:连 续函数在其定义区间中,至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数 的不可导点至多是可列集。但 Weierstrass利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结。下面给出由荷兰 数学家 Van der waerden于1930年构造的一个处处不可导的连续函数的例子。 设o(x)表示x与最邻近的整数之间的距离,例如当x=126,则o(x)=0.26; 当x=3.67,则(x)=0.33。显然φ(x)是周期为1的连续函数,且o(x)≤1/2。 f(x)= q(10x) 由于(y ∑1 的收敛性,应用 Weierstrass判别法,可知f(x) 2·10″ 2.10 表达式中的函数项级数在(-∞,+∞)上一致收敛。再由q(x)的连续性,可知f(x) 在( )上连续 现考虑f(x)在任意一点x处的可导性。由于f(x)的周期性,不妨设0≤x0( 根据hn的取法,可以知道 (1)当n≥m时,g(10《(x+bn)=p(10x±10m)=g(10x) (2)当n≤m时,10(x+h)与10x或者同属于区间k,k+,或者同属于 区间k+,k+1(k为某一整数),因而

处处不可导的连续函数 常见的连续函数在其绝大部分连续点上总是可导的，因此人们一直猜测：连 续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数 的不可导点至多是可列集。但 Weierstrass 利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结。下面给出由荷兰 数学家 Van Der Waerden 于 1930 年构造的一个处处不可导的连续函数的例子。 设 ( ) x 表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，则 ( ) x = 0.26； 当 x = 3.67，则 ( ) x = 0.33。显然  (x)是周期为 1 的连续函数，且 ( ) 1/ 2 x  。 令 f x( )  0 (10 ) 10 n n n  x    ， 由于 (10 ) 10 n n  x  n 2 10 1  ，及     0 2 10 1 n n 的收敛性，应用 Weierstrass 判别法，可知 f x( ) 表达式中的函数项级数在 ( , )    上一致收敛。再由  (x)的连续性，可知 f x( ) 在 ( , )    上连续。 现考虑 f x( ) 在任意一点 x 处的可导性。由于 f x( ) 的周期性，不妨设 0 1  x ， 并将 x 表示成无限小数 0. 1 2 n x a a a  。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 mh          10 , 4,9, 10 , 0,1,2,3,5,6,7,8, m m m m a a 当 当 例如设 x = 0.309546…，则我们取 1 1 h 10  ， 2 2 h 10  ， 3 3 h 10   ， 4 4 h 10  ， 5 5 h 10   ， 6 6 h 10  ，… 显然 0 m h  ( m )。 根据 mh 的取法，可以知道： ⑴ 当 n m 时，  (10n ( x m h )) =  (10n x 10n m  ) =  (10n x )； ⑵ 当 n m 时，10n ( x m h )与 10n x 或者同属于区间 1 , 2 k k        ，或者同属于 区间 1 , 1 2 k k         （ k 为某一整数），因而

(10(x+bn))-q(10x)=±10”h 其中符号是由x,n与m唯一确定 现在考察 f(x+hm)-f(x)=g(0(x+hn)-(10x) 在上式右端的和式中,当n≥m时,由于(10″(x+bn)=(10″x),这些项都 为0:当n<m时,由于分子与分母都为±10-m,但符号可能不同,因此这些项 不是+1就是-1。于是我们得到 f(x+h)-f(x) hn 等式右端必定是整数,且其奇偶性与m一致,由此可知 f(x+h)-f(x) h 不存在,也就是说,f(x)在点x处不可导 因此,f(x)就是一个处处连续,但处处不可导的函数

 (10n ( x m h ))  (10n x ) = m n 10 h ， 其中符号是由 x ，n 与 m 唯一确定。 现在考察 m m h f (x  h )  f (x) = 0 (10 ( )) (10 ) 10 n n m n n m x h x h        在上式右端的和式中，当 n m 时，由于  (10n ( x m h )) =  (10n x )，这些项都 为 0；当 n m 时，由于分子与分母都为 10n m  ，但符号可能不同，因此这些项 不是 +1 就是 -1。于是我们得到 m m h f (x  h )  f (x) =     1 0 1 m n ， 等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知 m lim m m h f (x  h )  f (x) 不存在，也就是说， f x( ) 在点 x 处不可导。 因此， f x( ) 就是一个处处连续，但处处不可导的函数