上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第8章 热力学平衡态 8.7 玻尔兹曼分布

第8章热力学平衡态 §8.1热力学系统平衡态 §8.2热力学第零定律温度和温标 §8.3理想气体温标和状态方程 §8.4理想气体微观模型 压强和温度的 统计意义 §8.5能量均分定理 §8.6麦克斯韦速率和速度分布 §8.7玻尔兹曼分布 §8.8量子统计分布简介

§8.1 热力学系统 平衡态 第 8 章 热力学平衡态 §8.2 热力学第零定律 温度和温标 §8.3 理想气体温标和状态方程 §8.4 理想气体微观模型 压强和温度的 统计意义 §8.5 能量均分定理 §8.6 麦克斯韦速率和速度分布 §8.7 玻尔兹曼分布 §8.8 量子统计分布简介

§8.7玻尔兹曼分布 外场中平衡态下分子速度处于 yx→yx+dyx,yy→y,+dy,V:→v+dv 同时位置处于x→x+dx,y→y+dy,z→z+dz 6k+8p 的几率正比于 e T 玻尔兹曼因子 1 =m(y,2+y,2+y:2)。分子势能 2 分子处在一定速度区间和一定空间范围内的几率 与分子能量有关。能量小，几率大

外场中平衡态下分子速度处于 同时位置处于 的几率正比于 zzzyyyxxx → + → + → + d,d,d vvvvvvvvv → + → + → + d,d,d zzzyyyxxx kT pk e +εε − ——玻尔兹曼因子 §8.7 玻尔兹曼分布 分子处在一定速度区间和一定空间范围内的几率 与分子能量有关。能量小，几率大。 p 222 k ( ) 2 1 ε ε zyx ++= vvvm 分子势能

处于该区间的分子数： dN Ce kTdvdr Ep d=(Cedy,dy,dv.)edxdrd- 含义？ Ep noe kr dxdydz Ep dN'=noe krdxdydz dN' Ep ◆n= =noe dxdvdz no:E。=0时的分子势能

处于该区间的分子数： kT rvCN rrdded ε − = kT zyx kT ddde)ddde(d zyxvvvCN k p ε ε − − ∫∫∫ ′ = zyxn kT ddde p 0 ε − = 含义 ? kT ddded zyxnN p 0 ε − ′ = kT n zyx N n p e ddd d 0 ε − = ′ = n ： ε p0 = 0 时的分子势能

重力场：Ep=mg2 mgz n=noe kr T-C mgz →p=nkT=n,kTe kr mgz poe kT

= mgz p ε kT mgz nn − = e0 = nkTp T=C kT mgz kTn − = e 0 kT mgz p − = e0 重力场：

[例8-151稳定大气温度T,以地面为重力势能零点， 试证大气层分子 E。=kT 解：以地面为z轴零点，向上为正 mgz kT n=noe 在z处取截面积为dS高为dz的小体积 medds mgz =kT mgz me r dzds

[例8-15] 稳定大气温度T,以地面为重力势能零点， 试证大气层分子 p = kTE 解： kT mgz nn − = e0 ∫ ∫ ∞ − ∞ − = 0 0 0 0 p dd dde Szen mgzn Sz E kT mgz kT mgz = kT 以地面为z 轴零点，向上为正 在z 处取截面积为dS 高为dz 的小体积

量子理论表明：原子、分子 E3 的转动、振动能量只能取一 E2 系列不连续的值，称为能级 E 事实证明分子原子在这些能 级上的分布一般也遵守玻耳 Eo 兹曼定律 E N,cce kT 玻耳兹曼因子

事实证明分子原子在这些能 级上的分布一般也遵守玻耳 兹曼定律 玻耳兹曼因子 量子理论表明：原子、分子 的转动、振动能量只能取一 系列不连续的值，称为能级 E 0 E3 E 2 E 1 kT E i i N − ∝ e

「例8-161系统粒子数N,平衡态温度T,能级0，E,28 求粒子数分布、平均能量 E 解： N,=Ce kT 28 No=C N,=Ce kT N,=Ce 28 kT =N N 28 1+e kr +e kr

[ 例8-16] 系统粒子数 N，平衡态温度 T，能级 ε 2,,0 ε 求粒子数分布、平均能量 kT E i i CN − 解： = e 0 = CN CN kT ε − = e 1 CN kT 2 ε 2 e − = C kT kT = N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − − ε 2 ε ee1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = − − kT kT N C ε 2 ε ee1

Wo0+N·8+W,·28 W ge kT (1+2e kT 26 1+e+e N C= 28 1+e kT +e

N ε NNN ε ε 0 ⋅0 + 1 ⋅ + 2 ⋅ 2 = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ++ + = − − − − kT kT kT kT ε ε ε ε ε 2 ee1 )e21(e ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ++ = − − kT kT N C ε 2ε ee1

[例8-17八系统有4000个粒子，能级0，E,2E,初始三能 级粒子数分别为2000,1700,300，问是否是平衡态？ 平衡态下应如何分布？ 解：平衡态分布 N,=Ce kT E 2E N。=CN,=Cek N2 Ce kT E 2E E 2E Ce KT E+Ce kT 2E=2300E

[例8-17] 系统有4000个粒子，能级0，E，2E，初始三能 级粒子数分别为2000，1700，300，问是否是平衡态？ 平衡态下应如何分布? kT E i i CN − 解： = e 0 = CN kT E CN − = e 1 kT E CN 2 2 e − = ee1 4000 2 =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ++ − − kTE kTE C kT EECEC E kT E 23002ee 2 + = − − 平衡态分布

解得： E e kr =0.5034 W=2277 W,=1146 W3=557 END

= 5034.0e− kT E 557 1146 2277 3 1 0 = = = N N N 解得： END