上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第8章 热力学平衡态 8.6 麦克斯韦速率和速度分布

第8章热力学平斷态 §8.1热力学系统平衡态 §8.2热力学第零定律温度和温标 §8.3理想气体温标和状态方程 §8.4理想气体微观模型 压强和温度的 统计意义 §8.5能量均分定理 §8.6麦克斯韦速率和速度分布 §8.7玻尔兹曼分布 §8.8量子统计分布简介

§8.1 热力学系统 平衡态 第 8 章 热力学平衡态 §8.2 热力学第零定律 温度和温标 §8.3 理想气体温标和状态方程 §8.4 理想气体微观模型 压强和温度的 统计意义 §8.5 能量均分定理 §8.6 麦克斯韦速率和速度分布 §8.7 玻尔兹曼分布 §8.8 量子统计分布简介

§8.6麦克斯韦速率和速度分布 一、分子速率分布函数 叶△v 0 v>y+△y内的分子数：△W AN f(v)Ay (当△v较小时) N △W dN 定义：f(v)=lim A0N△y Ndv 代表速率v附近单位速率区间内分子数占总数比率

一、 分子速率分布函数 §8.6 麦克斯韦速率和速度分布 +→ Δvvv 内的分子数： ΔN 代表速率 v 附近单位速率区间内分子数占总数比率 定义： vN N vN N vf v d d lim)( 0 = Δ Δ = →Δ o v v + Δ v v vvf N N Δ∝ Δ )( （当 Δv 较小时）

含义？ dN f(v)dv W Nf(v)dv dN 含义？ △W dN 定义：f(v)=lim Av-0N△y Ndv 代表速率y附近单位速率区间内分子数占总数比率

N N vvf d d)( = 含义？ = dd)( NvvNf 含义？ 代表速率 v 附近单位速率区间内分子数占总数比率 定义： vN N vN N vf v d d lim)( 0 = ΔΔ = →Δ

dN f(v)dv= iAv) N ["f(v)dv= △W W f(v)dv=1 dv 归一化条件

v N N vvf v v Δ = ∫ 21 d)( 1d)( 0 = ∫∞ vvf 归一化条件 N N vvf d d)( = o f(v) dv

求平均值： 。一 W =听)d .-w

求平均值： N Nv v ∫∞ = 0 d ∫∞ = 0 d)( vvvf N Nv v ∫∞ = 0 2 2 d ∫∞ = 0 2 d)( vvfv

dN [例8-7：说明下列各式的物理意义 f(v)= dN Ndv (1)f(v)dv N (2)Nf(v)dv dN (3)["f(v)dv △W N (4)Wf()dv= (v)dyNf()dvvd (5) f(v)dv Nr(v)dvdw [,2]

[ 例8-7]：说明下列各式的物理意义 vN N vf d d )( = d)()1( vvf d)()2( vvNf ∫ 2 1 d)()3( v v vvf ∫ 2 1 d)()4( v v vvNf ∫ ∫ 2 1 2 1 d)( d)( )5( v v v v vvf vvvf N dN = = dN N ΔN = = ΔN ∫ ∫ = 2 1 2 1 d)( d)( v v v v vvNf vvNvf ∫ ∫ = 2 1 2 1 d d v v v v N Nv ],[ 1 2vv = v

麦克斯韦速率分布率 -27e 2kT .p2 Av

二、麦克斯韦速率分布率 2 2 2 3 2 e) 2π 4)( π( v kT vf v kT = ⋅ − μ μ p v v 2 v f(v) o v

2kT 2RT 最可几速率： M == 8kT 8RT 平均速率： πM 均方根速率： w2=∫2f)dv 3kT 3RT M

M RTkT v 22 p == μ M RTkT vvvfv π 8 π 8 d)( 0 = == ∫∞ μ 均方根速率： ∫ = d)( vvfvv 22 M RTkT v 2 33 == μ 平均速率： 最可几速率：

【例8-81氢气、氧气分子数均为N,T,=2Te 速率分布曲线如图，且阴影面积为S, 求： 哪条是氦气？ f(v) : A B VpHe V。的意义 [NLfn(v)-fa(v)]dy 对应的物理意义

[例8-8] 氦气、氧气分子数均为N ， o He 2 2 = TT 速率分布曲线如图，且阴影面积为 S , 哪条是氦气？ pHe pO2 v v o v 的意义 [ ] vvfvfN v d )()( 0 ∫ B A ∞ − 对应的物理意义 求： (1) (2) (3) (4) vf )( vo v A B o

解： To,Mne -1 e Mo.Tie 2 f(v) B是氦气 B 1 VpHe 2 0 V=V。时两种气体分子分布几率相同。 [NLfB(v)-f(v)]dv=N(1-S) 对应于两种气体分子速率大于y的分子数差

2 1 HeO HeO pHe pO 2 2 2 = = TM MT v v (1) B 是氦气 对应于两种气体分子速率大于vo的分子数差 2 1 pHe pO2 = v v (2) o (3) = vv 时两种气体分子分布几率相同。 (4) [ ] ( ) SNvvfvfN v − −= ∫∞ 1d )()( 0 B A 解： vf )( vo v A B o