上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第6章 振动力学基础 6.4 平行简谐振动的合成 振动频谱

第6章振动力学基础 §6.1简谐振动动力学 §6.2简谐振动运动学 §6.3微振动的简谐近似 §6.4平行简谐振动的合成振动频谱 §6.5垂直简谐振动的合成 §6.6阻尼振动 §6.7受迫振动共振

第 6 章 振动力学基础 §6.1 简谐振动动力学 §6.2 简谐振动运动学 §6.3 微振动的简谐近似 §6.5 垂直简谐振动的合成 §6.4 平行简谐振动的合成 振动频谱 §6.6 阻尼振动 §6.7 受迫振动 共振

§6.4平行简谐振动的合成 振动频谱 、 同频率平行简谐振动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简 谐振动，其振动方程分别表示为： x1=Ac0S(0t+01) x2=A2C0s(0t+p2) 4=4+4 0 x=X+X2

一、同频率平行简谐振动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简 谐振动，其振动方程分别表示为： )cos( = 11 ω + ϕ1 tAx ω x 1 x 2 x cos( ) = 22 ω + ϕ 2 tAx x A1 v A 2 r ϕ1 ϕ 2 A v ϕ AAA 21 v v v += 21 = + xxx §6.4 平行简谐振动的合成 振动频谱

>结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振 动，其合成运动仍为简谐振动。 A=VA2+42+2A4c0s(020) A sin o+sinp2 Φ=arctan A cosp+4 cosp2 (1若：02-9，=2km(k=0,±1，±2，) 则：A=VA?+A好+2AA2=A+A (2若：p2-9,=(2k+1)元(k=0,±1，±2，…) 则：A=VA+A-2AA,2=4-A2

一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振 动，其合成运动仍为简谐振动 。 ¾结论： cos(2 ) 21 12 2 2 2 1 ++= AAAAA −ϕϕ 1 21 2 211 2 cos cos sin sin arctan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ AA AA + + = 2 π ( ,2,1,0 L ) (1)若： ϕ − ϕ12 = kk = ± ± )12( π ( ,2,1,0 L ) (2)若： ϕ − ϕ12 = + kk = ± ± 2121 2 2 2 则: 1 2 +=++= AAAAAAA 2121 2 2 2 1 则： 2 −=−+= AAAAAAA

[例题6-6]两个同方向的简谐振动曲线（如图所示） 1.求合振动的振幅。 2.求合振动的振动式。 A x2(t) 解：A=A2-A 2π A 0= x,(t) T 元 兀 A1c0s01=0 A 2 2 4,cos0,=02,=± A 2

[例题6-6]两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1. 求合振动的振幅。 2. 求合振动的振动式。 解： −= AAA 12 T 2π ω = 0cos A ϕ11 = 2π 2π ϕ1 ϕ1 =→±= 0cos A ϕ 22 = 2π 2π ϕ2 ϕ2 −=→±= A1 A2 A − A1 A2 x )( 1 tx )( 2 tx T t

元 由矢量图： 2 x=4-4eo21-

) 2 2 ππ cos( −= 12 t − T AAx A1 A2 A 2 π 由矢量图： ϕ −=

[例题6-]两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振 幅为20cm,与第一个振动的位相差为0-p=π/6。若第 一个振动的振幅为10/3cm。则（1)第二个振动的振幅为 多少？（2)两简谐振动的相位差为多少？ 解： △0=02-p1 A Z 匹/6 △0 =42+42-244 cos n/6 A =V202+l03-2-20x10w3cosm/6=10cm

解： Δϕ = ϕ −ϕ 12 1 cos2 π 6 21 2 2 −+= AAAAA ( ) cos31020231020 π 6 2 2 ×⋅−+= A v A1 v A2 r π 6 Δϕ = cm10 [例题6-7]两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振 幅为20cm，与第一个振动的位相差为 。若第 一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为 多少？（2）两简谐振动的相位差为多少？ ϕ −ϕ 1= π 6 cm310

A A sin△p Sin元/6 A. 元 20 sin A= A 6 10 6 元 △0=02-0= 2 A A /6 △0 A

sinsin π 6 AA 2 = Δϕ 1 6 π sin 10 20 6 π sin sin 2 ===Δ A A ϕ 2 π ϕϕϕ 12 =−=Δ A v A1 v A2 r π 6 Δϕ

二、不同频率平行简谐振动的合成拍 设两同方向，角频率分别为01和0，的两简谐振动 (02>01)。它们所对应的旋转矢量分别为A,和A A,相对于A的转动角速度：02-01 A02 两矢量同向重合时： >合振动振幅A极大 两矢量反向重合时： >合振动振幅A极小 >拍：合振动的振幅时大时小的现象

二、不同频率平行简谐振动的合成 拍 设两同方向，角频率分别为 和 的两简谐振动 （ > ）。它们所对应的旋转矢量分别为 和 ω 1 ω 2 A1 v A 2 r ω 2 ω 1 A 2 r 相对于 的转动角速度： A1 ω − ω12 v 两矢量同向重合时： ¾合振动振幅 极大 A v ¾合振动振幅 极小 A v 两矢量反向重合时： ¾拍：合振动的振幅时大时小的现象 A1 v ω 1 A2 r ω 2 O x

2元 拍的周期： T= 02-01 拍的频率： y=0。-m=y2-y 2元 从解析式来分析： x1=AC0s0t=A1cos2πyt x2=42 cos@2t=A2 cos2v2t

12 12 2π νν ω ω ν −= − = 12 2π −ωω 拍的周期： T = 拍的频率： 从解析式来分析： tAtAx 1111 2cos π 1 = cosω = ν tAtAx 22 22 2cos π 2 = cosω = ν

x=x1+x2=A,C0s2πyt+A2c0S2πV2t 设：A=A2=A x=2Ac0S2π 2-V1tc0s2π 2 2 振幅： 随时间缓慢变化 2 c0S2π 为一谐振因子 2

tAtAxxx += = 121 2cos π ν + 21 2cos π ν 2 Ax t t 2 2cos π 2 2cos2 π ν ν 12 ν + ν 12 ⋅ − = A t 2 2cos2 π −νν 12 振幅： 随时间缓慢变化 t 2 2cos π ν + ν 12 为一谐振因子 设： = 21 = AAA