宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（小结）孤立奇点、留数

孤立奇点、留数小结 洛朗级数展开中不含有负幂项 可去奇点 imf(=)=C0,令f(二a)=limf(=)可以使其解析 洛朗级数展开中含有m项负幂项,C≠0 limf()=∞,缺点是无法判断是几阶极点 2=0m阶价极点{f(2)2(=-0)8(=),其中g()在某U(a)解析且g(=0)≠0 是一的m阶零点 定义判断 导数判断 本性奇点倍洛明级数展开中含有无穷多项负幂项 孤立奇点 洛朗级数展开中不含有正幂项 奇点 可去奇点 m/(=Cn,令/(∞)=1mf()可以使其解析 洛朗级数展开中含有m项正幂项,C,≠0 =m阶极点m/()=缺点是无法判断是几阶极点 8m(的阶零点定义判断 洛朗级数展开中含有无穷多项正幂项 本性奇点 limf(=)=不存在(非∞ 如:f()=、1 有奇点z=0及 →0,故=0不是孤立奇点 非孤立奇点 sIn 如:f()=sin-有奇点=及n=n丌→,故=∞不是孤立奇点 「按定义:∫()在0<-=<R展开为洛朗级数式中(=-)的系数C,记作Res(=1 可去奇点:展开式中不含负幂项,C-1=0 esf(-),-0]=lim(=-0)f(-) 阶极点 Resf()5/、P(a),其中P(=0)≠0,Q(=0)=0,(-)≠0 留数 按孤立奇点类型{极点 Res[f(),-=0] 阶极点 (m-1)!→0d (2-=0)"f() d" T Res[f(-),-0 lim mn(E-F0) f(E) m+n 本性奇点:按定义计算Resf()-a]

孤立奇点、留数小结 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) Re [ ( ), ] 0 Re [ ( ), ] lim( ) ( ) ( ) Re [ ( ), ] , ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 Re [ ( ), ] ( 1) z z f z z z R z z C s f z z C s f z z z z f z P z s f z z P z Q z Q z Q z s f z z m m − − − →  −  − =  = −   =  =      = − 按定义： 在 展开为洛朗级数式中 的系数 ，记作 可去奇点：展开式中不含负幂项， 一阶极点 其中 ， ， 留数 按孤立奇点类型 极点 阶极点： 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 lim ( ) ( ) ! 1 Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) ( 1)! Re [ ( ), ] m m m z z m n m n m n z z d z z f z dz d s f z z z z f z m n dz s f z z − → − + − + → + −                              −              = −      + −      本性奇点：按定义计算 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) lim ( ) 0 lim ( ) , 1 ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) 0 ( ) ( ) z z z z m z z m f z C f z f z m C f z z z m f z g z g z U z g z z z z z m f z → → − →   = =     =    =  =   −    =    洛朗级数展开中不含有负幂项 可去奇点 令 可以使其解析 洛朗级数展开中含有 项负幂项, 缺点是无法判断是几阶极点 阶极点 其中 在某 解析 且 1 定义判断 是 的 阶零点 导数判断 孤立奇点 奇点 0 0 lim ( ) lim ( ) , ( ) lim ( ) 0 lim ( ) , ( ) z z z z m z f z f z C f f z m C f z z m z m f z → → → →                    =      =  =     =  =    =    洛朗级数展开中含有无穷多项负幂项 本性奇点 不存在(非 ) 洛朗级数展开中不含有正幂项 可去奇点 令 可以使其解析 洛朗级数展开中含有 项正幂项, 阶极点 缺点是无法判断是几阶极点 1 定义判断 是 的 阶零点 导数判断 lim ( ) 1 1 ( ) 0 0 0 1 sin 1 ( ) sin z n n f z f z z z z n z f z z z n z z   →                                                                  =      = = = → =      = =  = →  =   洛朗级数展开中含有无穷多项正幂项 本性奇点 不存在(非 ) 如： 有奇点 及 ，故 不是孤立奇点 非孤立奇点 如： 有奇点 及 ，故 不是孤立奇点                                