宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（练习题）第三章 复变函数积分

基本要求 正确理解复变函数积分的概念:()=m∑/(A 2.掌据复变函数积分的一般计算法:「()=(n+m+的)-()(M 3.掌握并能运用柯西一古萨基本定理和牛顿一莱布尼茨公式来计算积分 f()d=0,[f(z)d 掌握闭路变形定理、复合闭路定理,并能运用其计算积分 手f()k=。f()d,∮。/()=∑∮。f(l 掌握并能熟练运用柯西积分公式 2rj(二0) 6.掌握解析函数的高阶导数公式,理解解析函数的导数仍是解析函数,会用高阶导数公式 计算积分。 2rj(二0 填空题 d= +2z+2 dE= cOs d=( 4.设∫(二)在单连通域D内解析且不为零,C为D内任一条简单闭曲线,则 ∫"(=)+2f(=)+1 f(=) 5.解析函数f(=)的导函数仍为( ),且f(z)=( 计算下列各题 计算积分[(2+)在,C是由A(10)到B(0,1)的直线段 2.计算积分∮,C=2 (1-e)

基本要求 1． 正确理解复变函数积分的概念； 0 1 ( ) lim ( ) n k k C k f z dz f z   → =  =   2． 掌握复变函数积分的一般计算法； ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt   = + + =     3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ( ) 0 C f z dz =  ， 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) z z f z dz G z G z = −  4． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分； 1 ( ) ( ) C C f z dz f z dz =   ， 1 ( ) ( ) k n C C k f z dz f z dz =   =  5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式； 0 0 ( ) 2 ( ) C f z dz if z z z =  −  6． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式 计算积分。 0 1 0 ( ) 2 ( ) ( ) ! n C f z if z dz z z n  + = −  一、填空题 1． 2 | | 1 z 2 2 dz z z = = + +  （ ）； 2． 2 2 | 1| 1 1 z 1 z dz z − = + = −  （ ）； 3． 2 | | 1 cos ( ) z z dz = z  = −  （ ）； 4．设 f z( ) 在单连通域 D 内解析且不为零， C 为 D 内任一条简单闭曲线，则 ( ) 2 ( ) 1 ( ) C f z f z dz f z   + + =  （ ）； 5．解析函数 f z( ) 的导函数仍为（ ），且 ( ) ( ) n f z = （ ）。 二、计算下列各题 1．计算积分 2 (2 ) C +iz dz  ，C 是由 A(1,0) 到 B(0,1) 的直线段； 11 1 . 3 3 − + i 2．计算积分 2 2 z C e dz z z +  ，C z :| | 2 = ； 2 2 (1 ). i e− −

3.计算积分 dz,n为整数 n≤0时积分值为0:m=时积分值为n>时,积分值为27 4.求积分 cos二 cz;0. sh2丌 5.计算积分e sin =dz sched -)i;0. 、问le|在|二-=01的何处达到最大值?并求此最大值.(最大模原理e=) 四、计算积分/女 x1+2cos 6 ,其中C是圆周|二}=1,并由此证明 d=0 0 5+4 cos0 五、计算Ⅰ= d C(2=+1)(=-2) ,其中C是 (1)|=F (2)|=-2}=1 (4)|=|=3

3．计算积分 | | 1 z n z e dz z  = ， n 为整数； 2 0 , 1 , 2 ; 1 . ( 1)! i n n i n n   =   − 时 积分值为0; 时 积分值为 时，积分值为 4．求积分 2 | 2 | 1 cos z i z dz z − =  ； 0. 5．计算积分 2 0 i z ze dz  ， 2 sin i i zdz  − ， i i zchzdz  − ； 1 1 2 ( 1);( ) ;0. 2 2 sh i e  − −  三、问 | | z e 在 0 | | 1 z z −  的何处达到最大值？并求此最大值. （最大模原理 Re 1 0 z e + ） 四、计算积分 C 2 dz z +  ，其中 C 是圆周 | | 1 z = ，并由此证明： 0 1 2cos 0 5 4cos d     + = +  . 五、计算 (2 1)( 2) C zdz I z z = + −  ，其中 C 是 (1) | | 1 z = ; (2) | 2 | 1 z − = ; （3） 1 | 1| 2 z − = ； （4） | | 3 z =