清华大学：《数学建模》课程教学资源（讲义）第五章动态模型（姜启源）

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内容简介

1、传染病模型 2、经济增长模型 3、 Lanchester战争模型 4、药物在体内的分布与排除 5、香烟过滤嘴模型 6、按年龄分布的人口模型 7、烟雾的扩散与消失

第五章动态模型微分方程建模 §1传染病模型 §2经济增长模型 §3 Lanchester战争模型 4药物在体内的分布与排除 §5香烟过滤嘴模型 §6按年龄分布的人口模型 §7烟雾的扩散与消失动态·描述对象特征随时间(空间)的演变过程模型·分析对象特征的变化规律 ·预报对象特征的未来性态 ·研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系, 方程确定函数本身建模·根据建模目的和问题分析作出简化假设 ·按照内在规律或用类比法建立微分方程 1

§1传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律 ·预报传染病高潮到来的时刻」预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律用机理分析方法建立模型模型1已感染人数(病人)() 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为入建模i(t+M)-i(t)=i(t)M d=1口()=ie dt i(0)=io t→)0→i→>o? 则不能使病人数增加必须区分已感染者若有效接触的是病人, 人)和未感染者(健康人)

模型2区分已感染者(病人)和末感染者(健康人) 假设1)总人数N不变,病人和健康人s模型的比例分别为i(t),s(t) 2)每个病人每天有效接触人数为八,且使接触的健康人致病入~日接触率建模 N[i(t+△t)-i(t]=[As(mM(t)△t di Erdt ni(I-1) s(t)+i(t)=1 i(0)= 模型2 d=1(1-0)Le8型 (0) t-传染病高潮到来时刻 (日接触率)→tn↑ i→1? 病人可以治愈!

W O P P

模型3传染病无免疫性病人治愈成 SIS模型为健康人,健康人可再次被感染增加假设3)病人每天治愈的比例为μμ~日治愈率建模N[(+△1)-()=Ns(t)i(t)△t-Ni(r)△t i(1-i)- λ~日接触率 dt i(0)=i 1/~感染期 σ~一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。模型3 1-(1-1 接触数 σ>1 ≤1 σ=1~阈值 ≤1→i(t σ>1 感染期内有效接触感染的 z小→()按S形曲线增长健康者人数不超过病人数

思考模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)舶特例模型4传染病有免疫性病人治愈 SIR模型后即移出感染系统,称移出者假设1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t) 2)病人的日接触率λ,日治愈率接触数σ=λ/μ 建模s()+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),s(t),r(t)为两个方程模型4 SIR模型 N[i(t+△t)-i(t)]=ANs(t)i(t)△t-pMi(t)△t N[s(t+△t)-s(t)]=-N(t)i(t)△t nsi- ui 无法求出i(t),s(t) 的解析解在相平面s~i上 +≈1(通常r(0)=很小)研究解的性质

模型4 SIR模型消去dt a=2/4 OS ds i(0)=io,s(0)=S 相轨线几 i(s)=(s, +i)-s+-Ir 相轨线i(s)的定义域 (s,)s20,i≥0,s+is1} 在D内作相轨线i(s) 的图形,进行分析 0 模型4相轨线(s)及其分析SIR模型 d i ds i(s)=(s+i) dt S (0)=in,s(0)=S (s)图形:s(1)ψ,i=0, i(s=1/a)=in,s满足 so+io-s+-In-=0 s,>1/o(P)→i(先升后降至0曰传染病蔓延IG S。<1/σ(P)→ⅸ()单调降至0传染病不蔓延阈值

! V V # " $ $ $ % V V f f P P & f f %

模型4预防传染病蔓延的手段」SR模型传染病不蔓延的条件—s<1/ 提高阈值1/→σ(=2/)↓→λ√,↑ λ(日接触率)→卫生水平↑ u(日治愈率)↑→医疗水平个降低s。(S+i+r=1)→个口群体免疫 G的估计 ns S s+i-s += -x=0 忽略 S -S 模型4被传来人教的钴计」SR模型记被传染人数比例x=s-Sni小,S0≈1 =0日 x+-ln(1--)≈0 X<<S )≈0x≈2sa(s {s-=δ(d6小,sa≈1)} x≈2δ

' f f f f f f f f V

§2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长 1.道格拉斯( Douglas)生产函数产值资金劳动力技术 O(r)K( L(t f( f(t)=fo o(t)=foF(K(t), L(t) 1.道格拉斯( Douglas)生产函数静态模型Q(K,D)=F(K,L 每个劳动z=9每个劳动y=K 力的产值L 力的投资 L 模型假设z随着y的增加而增长,但增长速度递减 0=flg(y) g()=y,00 <0 OK OL OK OL

D R D D

Q(K,D)=fKQ4~单位资金创造的产 Q~单位劳动力创造的产值 KO LO KO+LO,=2, O Q a资金在产值中的份额1-a-劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯 Douglas)生产函数 aK, D)=fKL, 00 2)资金与劳动力的最佳分配(静态模型) 资金来自贷款,利率劳动力付工资w 资金和劳动力创造的效益S=-K-w 求资金与劳动力的分配比例每个劳动力占有的资金,使效益S最大 OK OL 20=12。" LO w个,r,a个→KL↑

. / . / D D N / / . . /

3)经济(生产率)增长的条件(动态模型) 要使Qt)或Z(t)=Qt(t)增长,K(t,L(t)应满足什么条件模型·投资增长率与产值成正比水=0,4>0 假设 (用一定比例扩大再生产)dt 劳动力相对增长率为常数 dL dt=ul el(t)=L er Q=fLg(y)g)=ys水=xLy K dK K=Ly→ L-+ul y dt uy=fony dk y Bernau方程 y(1)= f0元 f0元 k)e-(1-a)m 32=K几L,Q=K,E-,R=2y=2 f0元 K [1-(1 K

D W P D D D D D D P W D D D D D P " ! W

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