《线性代数》第二章 矩终及其运算(2.5)矩阵分块法

矩及其运算 第四节矩阵分块法 、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结思考题

庄一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 平运算化成小矩阵的运算具体做法是:将 庄矩阵4用若于条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 牛块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 上页
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是:将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为 的子块,以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A

a100 0 a00 例A BBB 2 10b1 011b B 0a00 4= B 011b 上页
, 321 = BBB = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例 A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b = B 1 B 2 B 3 即

0 …………… 4、/0 0 0 0 b 3 4 0 b 0 即 4 0010 0 b 001b C 上
= b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2 = C C C C = A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

0 0 0 00 AO 4= 0 b1 E B 0\=详 0 1 0 0010 0 (41A243A)其中4 0 b 1 b
, = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4 = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 = a a A 0 1 其中 = b b B 1 1 = 0 1 1 0 E = 0 0 0 0 O = 0 1 0 1 a 其中A = 1 0 1 2 a A = 1 0 0 3 b A = b A 1 0 0 4

王二、分块矩阵的运算规则 (设矩阵A与B行数相同列数相同采用 相同的分块法,有 B B A B B sI B 王其中4与的行数相同列数相同那末 A41+B A,.+ 1r a+B A31+B,1…Ay+B3r 上页
( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B 二、分块矩阵的运算规则 = = s sr r s sr r B B B B B A A A A A 1 1 1 1 1 1 1 1

(2)设A= ,为数,那末 a4, 11 A4, Ir a4= 2A ZA 上页
(2)设 , 为数,那末 1 1 1 1 = s sr r A A A A A . 1 1 1 1 = s sr r A A A A A

3 例元=2,A= 13422 225316 6 2A=3 x× 222 222 4 222.4 6 ×621 5 810
例 = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 = 2, A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6 =

(3)设4为m×矩阵B为xn矩阵分块成 / B t 11 BI 9 SI B t1 B st tr 其中An,42,,A4的列数分别等子B1,B2;…,Bn 工工工 的行数那末 11 Ir AB= C Sr 其中Cn=∑AkB6(=1,…,sj=1,…, k=1
(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 = = t tr r s st t B B B B B A A A A A 的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2 Ai t B1 j B2 j Bi j = s sr r C C C C AB 1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j = i k = = = 其 中

A1…A1 LAt 王()设4-氵 则A T Ir (5)设4为阶矩阵若4的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都 是方阵即 A1 A2 A 上页
( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1 = As A A A O O (4) , 1 1 = Asr A A 设 A1r As1 . 11 = T sr T T A A A 则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11 = T sr T T A A A 则
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