清华大学：《数学建模》课程教学资源（讲义）第三章量纲分析法建模（姜启源）

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1、量纲齐次原则 2、量纲分析示例 3、量纲分析在物理模拟中的应用 4、无量纲化

第三章量纲分析法建模 (Dimensional Analysis) §1量纲齐次原则 §2量纲分析示例 §3量纲分析在物理模拟中的应用 §4无量纲化 §1量纲齐次原则物长度1的量纲记L= 动力学中理质量m的量纲记M-[m]基本量纲量时间t的量纲记T=[t ,M,T 的量速度v的量纲[=LT-1 纲加速度a的量纲[a]=LT-2 力f的量纲[f]=LMT2导出量纲引力常数k的量纲[k] ][]2[m]-2=LMT-2L2M-2=L3M-IT-2 f=,m 对无量纲量a,[a]=1(=lT 1

量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例单摆运动」求摆动周期t的表达式设物理量,m1.t=Am“g“( g之间有关系式 a1a2a3为待定系数,为无量纲量 (1)的量纲表达式[]=[m][][g] 口T=M"T 0 对比口{a2+a=0 1/2 t=2丌 2a.=1 a.=-1/2 g g t=Am1g为什么假设这种形式设p=12)对Xy的两组量测值 p1=f(x1,y1z1),p2=f(x2,y2,Z2) 位第的量纲单小a,b,c倍 pI-f(ax, by, Cz,), p2=f(ax, by2, cz,) f(x, y,z) f(ax, by, cz) f(x f(ax,, b pfxy2形式为f(x,y,z)=x2y2z

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单摆运动中;m,g的一般表达式」f(,m,l,g)=0 曰r"m"lg"=zyy4为待定常数,π为无量纲量 [t]=LMT (LMT)(LMT)(LMT) [m]=LMT° (LMT)=LM"T° [=LM T [g]=Lmt ⅨMT-2y=EMT0 「y+y;=0 y=(,,,J,)+g= F()=0 y2=0 =(20,-,1 y1-2y4 0 (t=Nl/g) P理( Buckingham)设q,9…,qm)=0 是与量纲单位无关的物理定律,x1X2…X2是基本量纲,nm,q1q2,…,qm的量纲可表为 q]=∏X,j=12…m 若量纲矩阵A={15,PmkA=r 线性齐次方程组Ay=0有mr个基本解,记作 ys=(y,ys2,…,ysm)2, m-r 则丌。= 为m-r个相互独立的无量纲量,且 F(1,π2…,mr)=0与f(q1,q2,…,qn)=0等价,F未定

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§2量纲分析示例 1.波浪对航船的阻力阻力f 速度v,尺寸,浸没面积s,海水密度p,重力加速度g 0 op(g, I,p, v,S, f)=0 []=lx, [g]=LT2,=L,[p]=L3M [V]=LT-,[s]=L2, [f]=LMT-2 11-3121( A C A=001001(M 20010-2( (g)()(p)(v)(s)() f(1, 92,.m)=0(g, 1, p, v, ,f=0 rank a=r rank a=3 Ay=0有mr个基本解Ay=0有mr=3个基本解 y.=(sy23…3my/y=(-12-1/2.010,0)1 y=(0,-2001 s=1,2,,mr y=(-1,-3-10.0.1) m-r个无量纲量 z。=1lq g p

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F(兀1,丌2,3)=0与 q(g,1,pvs,f)=0等价 F(兀1,x2,xm)=0与 1=g22v f(q1,q2…,qn)=0等价丌,=ls 兀3=glpf 为得到阻力f的显式表达式[F=0中[z=9x,z f=sv paT, I,) 令丌未丌1 gl 定 2.点热源的热扩散 r=0处热量e的瞬时点热源(t=0)在无穷空间引起热扩散温度uφ向径r时劾热量e介质(体积)比热c扩散系数k φ(,t,e,ck,u)=0基本量纲:L,M,T,(温度) [r]=L,[t]=T 102-110(D 001 10(M Te]=Lmr-2 A 01-2-2-30( [c]=L-MT-20- 000-1-11( ]=LMT3e1q=-k())(e)()()() m=6.n=4

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op(r, t, e, rank a=r=4,Ay=0有mr=2个基本解 tc- k (-2,1,0,-1,1,0) 兀,=ec y2=(3,0,-1,1,0,1) F(x1,2)=0 k at as =-(at)2g(, cg是末定函数 k 热传导方程的解量纲分析法的评注物理量的选取 q()=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲的选取基本量纲个数n;选哪些基本量纲基本解的构造有目的地构造Ay=0的基本解 ∵方法的普适性结果的局限性函数F和无量纲量的未定性

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§3量纲分析在物理模拟中的应用例.航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力已知模J=p(xz,n) 可得质f=8w2P(x,z2) 型船所 S型船所受阻力 F受阻力 p, g f1,S1,1,v1,P1,g 模型船的参数(均已知) ~原型船的参数注意:二者的相同(未知,其他已知) f=svpa, ,)f=sv pp,T2) g/ g=g f SVIP, y=4 P1) 按一定尺寸比例造模型船, 量测f,可算出f1~物理模拟

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§4无量纲化例.火箭发射 X 星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r,表面重力加速度g 研究火箭高度x随时间t的变化规律解设t=0时x=0,火箭质量m,星球质量牛顿第二定律,万有引力定律 x (x+r)2 km,=r'g x+r i=-g(x=0) (0)=0,x(0)=v x=x(t;r,v,g)-3个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数变量x,t和独立参数r,v,g的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v=LT-,[g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲令xs 的x,t(特征尺度) 如x=r,t=r/vx,一无量纲变量利用新变量x,tx=x(t;r,V,g)将被简化

% & ' ' & & ' ( ) F F

xt的不同构造x (x+r) x=x(t;r,v,g)的不同简化结果 x(0)=0,x(0)=V 令x2=r,t=r/vE=x/r,=v/r几 E ydx v (x+1)2rg x(0)=0,x(0)=1 x=x(;r,v,g)→F=x(;)ε为无量纲量 2)令 /g口 x=x(t; r,v,g) (x+1) 0)=0 E为无量纲量 x(0) E 令x=v2/g,t=v/g口 E x=x(t; r, v,) (a+D) rg x(O0)=0,x(0)=1 E为无量纲量

* F F ) F F ) ) F ) F ) F F )

解x=x(t;E) 的共同点只含1个参数—无量纲量e 重要差别考察无量纲量E g √rg=√6370×10°×9.8÷8000m/>>vEx(1)<0 rg 口不能忽略ε项 v忽略项菜=-1 (+1) x(0)=0,x(0)=1 x(0)=0,x(O) 2

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