宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（小结）初等函数

初等函数小结 在复平面内处处解析 y)满足{f(=)=f() 的函数 当mz=0时,f()=e e+0, lei=, Arg(e")=y+2kT 指数函数 性质: 周期性:T= 在整个复平面上处处解析,且(e)=c ime不存在 定义:指数函数的反函数,解得Lnz=ln|z|+irgz 多值函数,主值hz=ln|-|+iarg Ln(==)=Lnz Lnz,-lnz 初等函数1 对数函数 性质: 解析性:在原点与负实轴上不连续,lz Ln√≠-Lnz,Ln==Ln-Ln≠0 定义 a=n“是单值函数,在整个复平面内处处解析且(=2)=n 幂函数 a=,n值函数,除原点与负实轴外处处解析且=|=- 性质 P,q互质,q值函数 a为无理数或复数无穷多值函数,除原点与负实轴外处处解析且(2)=c-

初等函数小结 ( ) 1 2 1 2 (cos sin ) ( ) ( ) Im 0 ( ) 0, , ( ) 2 2 lim z x x z z x z z z z z z z z z e e y i y f z f z z f z e e e e Arg e y k e e e T k i e e e Ln   + →      = + =      = =      = = +     =    =      =       在复平面内处处解析 定义： 满足 的函数 当 时， 指数函数 性质： 周期性： 在整个复平面上处处解析，且 不存在 定义：指数函数的反函数，解得 初等函数1 对数函数 1 1 2 1 2 1 2 2 ln | | ln | | ( ) , 1 1 , , 0 , n n a aLnz n z z iArgz lnz z iargz z Ln z z Lnz Lnz Ln Lnz Lnz z ln z z z Lnz Lnz Lnz nLnz Ln z Lnz Ln Lnz Lnz n z z e a n z   = +   = +      = + = −       =      = + +   = −      = = 多值函数，主值 性质： 解析性：在原点与负实轴上不连续， 定义： 是单值函数，在整个复平 幂函数 性质： ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 , , , , n n n n a a z nz a n z z n n p a p q q q a z az − − −                                      =              = =             =            =      面内处处解析且 值函数，除原点与负实轴外处处解析且 互质， 值函数 为无理数或复数 无穷多值函数，除原点与负实轴外处处解析且

定义 Aete cOs SIn 2== ←cosX sinx=(欧拉公式) 2 sinz、cosz都是单值函数 周期性:T=2兀,(定义中指数含有) cosz是偶函数,sinz是奇函数 解析性:在整个复平面内处处解析且(co)=- sin=, (sin=)=cos 三角函数 无界性 性质: (I)cos(=1 +=2)=COs =1 COS =+sin= sin = 三角公式 (2)sin(二1±二2)=sin=1cosz2tsin=2COs (3) (4)tan== cOs., cot、cosz sIn cOS 初等函数2 定义:cosh~e+e sinh=== 一∈ coSh 2,Sinh= sinh= cosh都是单值函数 周期性:T=2;,(定义中指数不含有 cosh是偶函数, sinh=是奇函数 解析性:在整个复平面内处解析且(oh)= sinh=,(sinh =)=cosh 双曲函数 性质: coshiy =cos y, sinh iy =isiny 基本公式 cosy= cosh y, siniy =isinh y cos(x+iy)=cos x cosiy-sin xsin iy= cos x cosh y-isin sinh y sin(x+iy)=sin x cos iy +sin iy cos x= sin x cosh y +isinh ycosx cosh(x+iy)=cosh x cos y+isinh xsin y sinh(x+iy)=sinh

( ) ( ) 1 2 1 cos ,sin cos ,sin ( 2 2 2 2 sin cos 2 ( ) cos sin cos sin , sin cos (1) cos( ) cos iz iz iz iz ix ix ix ix e e e e e e e e z z x x i i z z T i z z z z z z z z z    − − − − + − + − = = =  = = =   = − =  = 定义： 欧拉公式） 、 都是单值函数 周期性： ， 定义中指数含有 是偶函数， 是奇函数 解析性：在整个复平面内处处解析且 三角函数 无界性 性质： 三角公式 初等函数2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 cos sin sin (2) sin( ) sin cos sin cos (3) sin cos 1 sin cos 1 1 (4) tan ,cot ,sec ,csc cos sin cos sin cosh ,sinh 2 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z e e z  −             =   + = = = = =    + 定义： = 双曲函数 ( ) ( ) cosh ,sinh 2 2 2 sinh cosh 2 ( ) cosh sinh cosh sinh , sinh cosh cosh cos , sinh sin cos cosh , sin sinh cos( z z x x x x e e e e e e z x x i i z z T i i z z z z z z iy y iy i y iy y iy i y x   − − − − + − = =  = = =   = = = = = = + 、 都是单值函数 周期性： ， 定义中指数不含有 是偶函数， 是奇函数 解析性：在整个复平面内处处解析且 性质： 基本公式 ) cos cos sin sin cos cosh sin sinh sin( ) sin cos sin cos sin cosh sinh cos cosh( ) cosh cos sinh sin sinh( ) sinh cos cosh sin iy x iy x iy x y i x y x iy x iy iy x x y i y x x iy x y i x y x iy x y i x y            = − = − + = + = +  + = +   + = +         

反余弦函数: Arc cos=-iLn(x+√ 反三角函数反正弦函数:rsm=-Lm+=2) 反正切函数: Arc tan=--Ln 12 初等函数3 2 反双曲余弦函数:Achz=Ln(=+√=2-1) 反双曲函数反双曲正弦函数:Ash=Lm(=+√=+1 反双曲正切函数:Arth=Ln(-)

2 2 2 2 cos ( 1) sin ( 1 ) 1 tan 2 1 ( 1); ( 1); 1 1( ). 2 1 Arc z iLn z z Arc z iLn iz z i iz Arc z Ln iz Archz Ln z z Arshz Ln z z z Arthz Ln z     = − + −     = − + −   +  = −   −      = + −     = + +    +  =   − 反余弦函数： 反三角函数 反正弦函数： 反正切函数： 初等函数3 反双曲余弦函数： 反双曲函数 反双曲正弦函数：  反双曲正切函数：