宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（小结）解析函数

解析函数小结 1)定义:f(=0)=lim f(-)-f(-=0)1f( f(=0) 2)证明不可导:与多元函数导数(极限)不存在证明相似 v l、f(=)在=处导数:3)f(=) 4)关系连续:mf()=f(=0,可导连续,且()=(-)+f(=0)A+p(△)△,其中im 可微:f()=f(=0)+f(=0A+o(4A),()=f(-),可导台可微 )定义:在=0及的某一领域内处处可导 2)在区域在处处可导与区域内处处解析等价 3)解析函数=(x,y)+mv(x,y)定可以单独用z来表示 4)解析函数有任意阶导数,且仍是解析函数 P()在分母不等于零的区域内处处解析 2、f(=)在=处(区域D内)解析 u(x,y)、v(x,y)在(x,y)可微 6)充要条件 满足C-R方程:an=2,n= 解析函数 u(x,y)、v(x,y)在(x2y)处偏导数连续 7)充分条件 满足C-R方程 8)必要条件:u(x,y)、v(x,y)都是区域D内调和函数 9)充要条件:v(x,y)是(x,y)共轭调和函数→提供构造解析函数的依据 在区域D内二阶偏导数连续 1)定义 满足二维拉普拉斯方程:?+0 3、∞(x,y)区域D内调和函数 0(x,y)、v(x,y)都是调和函数 2)v(x,y)是o(x,y)的共轭调和函数 满足C-R方程 ax a 1)偏积分法 ax ayay ax 4、构造解析函数2)不定积分法:()=一,=()()=B2+,2=()=()=U(k 3)线积分法:以次0。→+小=h==+a

解析函数小结 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 1 ( ) 3 ( ) lim ( ) ( ), 4 z z z z z f z f z f z z f z f z z z z u v f z z f z i x x f z f z →  → → − +  −  = = −     = +    =  1）定义: 2）证明不可导：与多元函数导数（极限）不存在证明相似 、 在 处导数： ） 连续： 可导 ）关系： 解析函数 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , z f z f z f z z z z z f z f z f z z o z df z f z dz    →      = +  +     =     = +  +  =        连续，且 其中 可微： 可导 可微 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) 5 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( ) ( ) , z z w u x y iv x y z P z Q z u x y v x y x y f z z D u v u v C R x y y x = +        − = = −       1）定义：在 及 的某一领域内处处可导 2）在区域在处处可导与区域内处处解析等价 3）解析函数 一定可以单独用 来表示 4）解析函数有任意阶导数，且仍是解析函数 ） 在分母不等于零的区域内处处解析 、 在 可微 、 在 处 区域 内 解析 6）充要条件 满足 方程： 7 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 3 ( , ) u x y v x y x y u v u v C R x y y x u x y v x y D v x y u x y D  x y D            − = = −        → 、 在 处偏导数连续 ）充分条件 满足 方程： 8）必要条件： 、 都是区域 内调和函数 9）充要条件： 是 的共轭调和函数 提供构造解析函数的依据 在区域 内二阶偏导数连续 1）定义 满足二维拉普拉斯方程： 、 区域 内调和函数 2 2 2 2 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( x y x y x y x y x y C R x y y x u v u v x y y x u u v v f z i U z f z i V z f z U z x y y x                  + =              − = = −            = = −           = − = = + =  =     、 都是调和函数 ） 是 的共轭调和函数 满足 方程： 1）偏积分法: 4、构造解析函数 2）不定积分法： 0 0 2 2 ( , ) 2 2 ( , ) ) 0, x y x y dz u u u u u u u u x y dx dy dv v dx dy c x y x y y x y x           −         + =  =  − + =  = − + +             3）线积分法: