宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（小结）复数列级数、复变函数项级数

复数列级数敛散性小结 lim x,=xo l)lim=n=50分 lim y,=yo 1、复数列极限:limz 2)limn|=0÷imzn=0, (适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限) 复数列 1)若im=n≠O,则∑必发散,(若∑n收敛→im=n=0) 2、复数列级数∑={2)复数列级数∑=收敛→实数列级数∑x收敛和∑y收敛 3)若级数∑n(正项级数)收敛→∑=绝对收敛 (适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数)

复数列级数敛散性小结 0 0 0 0 0 0 0 lim 1 lim lim lim 2 lim 0 lim 0 lim 0 lim 0) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x z z y y z z z z z z z z z →  →  →  →  → →   → → = =   = =   =   =    =    =  =     =      ） 1、复数列极限： ） ， （适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限） 复数列 1）若 ，则 必发散,(若 收敛 2、复数列级数： 2）复数列级数 收敛 实数列级数 0 0 0 0 n n n n n n n n x y z z   = =   = =                                        收敛和 收敛 3）若级数 （正项级数）收敛 绝对收敛 （适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数）

<1 散 1)比值法:=lm则R n→+ 2、∑C"收敛半径 根值氵 y则R 3∑C"收敛区域:在半径为R在圆域内绝对收敛,在园外发散, 在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散 4∑C"和函数:求收敛域(收敛半径)、 在收敛域内求和函数一外项粉分→∑ (1)f()在圆域|-=0|<R解析 1)泰勒级数定理{()f()可展开为幂∑C,且唯一 3)C + 幂级数∑C ∑元 5泰勒级数!2)直接展开法 (3)sinz=∑(-1) <+ (2n+1)! (4)cosz=∑(-1)l<+ 3间接展开法一分速项分、素、表分等法→上面展开式 1)f()在园环域R<--0<R内解析 1)泰勒级数定理{(2)f()可展开为幂∑C。”,且唯一 6洛朗级数{2)直接展开法 3间接展开法_+冰鸟

0 1 0 0 0 0 1 , 1 1 1 1 1 lim , 2 1 lim , 3 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n z z z z C R C C z C R C z R C z C z      = +  →  = →   =  =  =     −      =   =       、 发散， 1）比值法： = 则 、 收敛半径 2）根值法： = 则 、 收敛区域：在半径为 在圆域内绝对收敛，在圆外发散， 在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散 、 的和函数：求收敛域（收敛半径）、 幂级数 0 0 0 ( ) 0 0 0 (2 1) 0 ( ) 2 ( ) ( ) ! 1 (1) , 1 1 (2) , ! 5 2) (3)sin ( 1) , (2 1)! ( n n n n n n n n n n z n n n n z f z z z R f z C z f z C n z z z z e z n z z z n  =  =  =  =  + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→   −    =  =  − =  + = −  + +      在收敛域内求和函数 逐项微分、逐项积分 （1） 在圆域 内解析 1）泰勒级数定理（ ） 可展开为幂 ，且唯一 （3） 、泰勒级数 直接展开法 2 0 1 0 2 4)cos ( 1) , (2 )! 3) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 6 n n n n n n n z z z n f z R z z R f z C z f C i     =  =−           = −  +   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→   −  =   间接展开法 上面展开式 逐项微分、逐项积分、求导、求积分等方法 （1） 在圆环域 内解析 1）泰勒级数定理 （ ） 可展开为幂 ，且唯一 （3） 、洛朗级数 1 0 1 0 2 0 2 1 0 , 1, 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 2 ) 2) 1 1 3) , 1 1 n C R z z n n R z z R z z R n n d z R z z R z z z z R z z R  + −  −      − = =           −       − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = =     − − −   −    −      直接展开法 间接展开法 或 