宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（练习题）第四章 解析函数的级数表示

基本要求 1.正确理解级数收敛、发散等概念,了解无穷级数收敛的充分必要条件 2.了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系 3.掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。 4.清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算 5.要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数,并指出其收敛半径,要记 住几个主要的初等函数的泰勒展开式。 6.要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数 、填空题 1.函数∫(2)=1c5在z=0处泰勒展开式的收敛半径为(1) 的幂级数展开式为(∑(-1y=20),收敛域为(|=k1); 1+z 函数f(二)= 展开成z的幂级数,有f(=)= (1-2z+3z2-…+(-1)y-nm1+…|zk1) 设C为单位圆周|1内包围原点的任一条正向简单闭曲线,则∮(∑=)= 2Ti 5.若幂级数∑cn"在=(1+√31)处收敛,那么该级数在=i处的敛散性为 绝对收敛 计算下列各题 1.求(2)=1-e在区域(1)|=k1,(2)0<-1k+0的幂级数展开式。 解:(1) =1++2+…”+…|=k1 1+z+二+ →∫(=)=(1+2+2+…+="+…)1++5+ =1+(1+)2+(1+ )二2+…+(1+++…+-)=+

基本要求 1． 正确理解级数收敛、发散等概念，了解无穷级数收敛的充分必要条件。 2． 了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系。 3． 掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。 4． 清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算。 5． 要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数，并指出其收敛半径，要记 住几个主要的初等函数的泰勒展开式。 6． 要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数。 一、填空题 1．函数 1 3 1 ( ) z f z e z i − = − 在 z = 0 处泰勒展开式的收敛半径为（ 1 ）； 2． 3 1 1+ z 的幂级数展开式为（ 3 0 ( 1)n n n z  =  − ），收敛域为（ | | 1 z  ）； 3 ．函数 2 1 ( ) (1 ) f z z = + 展开成 z 的 幂 级 数 ， 有 f z( ) = （ 2 1 1 1 2 3 ( 1) ,| | 1 n n z z nz z − − − + − + − +  ）； 4．设 C 为单位圆周 | | 1 z = 内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则 2 ( ) n C n z dz  =−  =  （ 2i ）； 5．若幂级数 0 n n n c z  =  在 1 (1 3 ) 2 z i = + 处收敛，那么该级数在 4 5 z i = 处的敛散性为 （ 绝对收敛 ）。 二、计算下列各题 1． 求 1 ( ) 1 z f z e z = − 在区域（1） | | 1 z  ，（2） 0 | 1|  −  + z 的幂级数展开式。 解：（1） 1 2 1 ,| | 1 1 n z z z z z = + + + +  − ， 2 1 , 2! ! n z z z e z n = + + + + 2 2 ( ) (1 )(1 ) 2! ! n n z z f z z z z z n  = + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1! 1! 2! 1! 2! ! n z z z n = + + + + + + + + + + + +

(2)f(二)=e z-1=e [+(二-1)+ 1)2.(xz-1) …十 n! e[-,+1+ 2.将函数f()=,分别在z=-与z=∞展开成级数 解:(1)代(2)14有奇点分别为二=-1,z=1,所以f()在z=-处的圆环域 0<+ik2和2x+ik∞可展开成洛朗级数,在0<z+ik2圆环内, f(=)= 二+i-i二+i(+1)-2z+i2i1(+D) (二+1)(=+1)2(+) 在24二+计k∞圆环内,/(=)~1 i二+i(二+1)-2i(=+1) (二+1)2md(z (1)f(2)1+有奇点分别为z=-1,z=1,故14zk<∞内解析, f(=) (n+1) (1+-2) 3.把f()=~1 分别在z=0和z=2展开为泰勒级数 4.将f()=(=+1) (1分别在圆环域(1)04=k1:(2)14=k+内展开为洛朗 级数 5.求下列幂级数的收敛半径(1)2:(2)2元:(3)∑川 6.判断下列级数的敛散性(1)∑:(2)∑ (3+5) (3)

（2） 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) [1 ( 1) ] 1 1 2! ! n z z z f z e e e z z z n − − − =  =   + − + + + + − − 1 1 ( 1) ( 1) [ 1 ] 1 2! ! n z z e z n − − − = −  + + + + + − 2． 将函数 2 1 ( ) 1 f z z = + 分别在 z i =− 与 z = 展开成级数。 解：（1） 2 1 ( ) 1 f z z = + 有奇点分别为 z i =− ， z i = ，所以 f z( ) 在 z i =− 处的圆环域 0 | | 2  +  z i 和 2 | |  +   z i 可展开成洛朗级数， 在 0 | | 2  +  z i 圆环内， 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 2 f z z i z i z i z i i z i i z i i − =  =  =  + − + + − + + − 2 2 1 ( ) ( ) ( ) [1 ] 2 2 (2 ) (2 ) n n i z i z i z i z i i i i + + + =  + + + + + 1 1 0 ( ) (2 ) n n n z i i  − + = + = − 。 在 2 | |  +   z i 圆环内， 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 1 f z z i z i z i z i i z i i z i =  =  =  + − + + − + − + 2 2 0 0 1 2 (2 ) ( ) ( ) n n n n n i i z i z i z i   + = =   =  =   + + +     。 （1） 2 1 ( ) 1 f z z = + 有奇点分别为 z i =− ， z i = ，故 1 | |    z 内解析， 2 2( 1) 0 2 1 1 1 ( ) ( 1) 1 (1 ) n n n f z z z z  + = =  = − +  。 3． 把 1 ( ) 3 2 f z z = − 分别在 z = 0 和 z = 2 展开为泰勒级数。 4． 将 2 ( 1) ( ) ( 1) z f z z z + = − 分别在圆环域（1） 0 | | 1   z ；（2） 1 | |   + z 内展开为洛朗 级数。 5． 求下列幂级数的收敛半径（1） 2 1 n n z n  =  ；（2） 0 ! n n z n  =  ；（3） 0 ! n n n z  =  。 6． 判断下列级数的敛散性（1） 1 n n i n  =  ；（2） 1 (3 5 ) ! n n i n  = +  ；（3） 1 1 5 ( ) 2 n n i  = + 