清华大学：《数学建模》课程教学资源（讲义）1999年全国大学生数学建模竞赛C题（大专组）（姜启源）

1999年全国大学生数学建模竞赛C题(大专组) 煤矸石堆积 煤矿采煤时,会产出无用废料—一—煤矸石。在平原地区 煤矿不得不征用土地堆放矸石。通常矸石的堆积方法是: 架设一段与地面角度约为B=25的直线形上升轨道(角 度过大,运矸车无法装满),用在轨道上行驶的运矸车将矸 石运到轨道顶端后向两侧倾倒,待矸石堆高后,再借助矸石 堆延长轨道,这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。 现给出下列数据 矸石自然堆放安息角(矸石自然 堆积稳定后,其城面与地面形成< C 的夹角)a≤55 B 矸石容重(碎矸石单位体积的重量)约2吨/米3; 运矸车所需电费为0.50元/度(不变) 运矸车机械效率(只考虑堆积坡道上的运输)初始值(在地平面上) 约30%,坡道每延长10米,效率在原有基础上约下降2% 土地征用费现值为8万元/亩,预计地价年涨幅约10% 银行存、贷款利率均为5%; 煤矿设计原煤产量为300万吨/; 煤矿设计寿命为20年 采矿出矸率(矸石占全部采出的百分比)一般为7%~10% 另外,为保护耕地,煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10% 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费(只计征地费及堆积时运矸车 用的电费)为100万元/年,这笔钱是否够用?试制订合理的年度征地计 划,并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用



     ¢   
     
  
    




问题分析 处理矸石费用:征地费;电费 征地费年涨幅0%>贷款利率%→20年用地一次征用 20年矸石总量(体积)一定,堆积1个矸石山用地最少 1个矸石山→征地费最少 矸石山高度增加→运矸车效率下降→电费增加 堆积几个矸石山取决于征地费和电费的比例 模型假设 矸石山与地面夹角α=55,运矸车道与地面夹角β=25 矸石均匀堆积,容重取c=2×10kg/m ,运矸车电费0.5元度,效率由初值30%按坡道延长10米下降2%递减; 原煤产量300万吨年,瑯解为去掉矸石的净煤宀量,共20年; 土地征用费现值8万元亩,年幅109%,最多于每年初征地次; 出矸率7-10%,征地需比堆积用地多10%G; 煤矿用于处理矸石的经费100万元年,理解为每年初一次拨出; 银行率5%,为复利,煤矿使用银行资金存贷自由; 征地费于当时付出,电费于当年内付出,不可拖欠

 

  
  
     
      
  

 
   

模型1.矸石山底面积、体积与高度的关系 建 矸石山由A-SBOD (四棱锥)和 A-BCDO (不完全圆锥组成S一 C h/tg a tgB sIn y y=19 h/tgb tg 矸石山底面积S=h( yy tg Btg tg a 2352h2(m2) 占地面积」S(h)=1.lS=2.5872(m2) 矸石山体积(h)=Sh/3=0.784h3(m 2矸石山体积V高度h占地面积S与出矸率p的关系 Q年出矸量,Q1~年原煤产量,出矸率p=Q(Q+Q1) Q=qQ=q×3×10(kg/年) 1-P矸石体=Q/c(容重=15(×10m/年 后矸石山体积v(t,p)=1.5q(×10m)(p=10%) 20 年后矸石山高度h(,p)=1241(q0)3(m)h=60162 年后占地面积S(,p)=5977q)23(亩)s=14102 若10%20年1个矸石山的征地费为R=8×102816万元) 每年1个矸石山的征地费8×14=12万元年)!

     ¢
       
   !"






    #       
 


 
     

  



           




  
   
 $     
 
   

     
 
   

    $ 
 
    
    $ 

    

   $       
   


 


 


$
%

 



  

3运矸车电费 效率由初值30%按坡 道延长10米下降20 设坡道行程l,l=x/sinβ(x为高程),则运矸车机械效率 7(x)=031-0.02)0=0.3×0.980mB=0.3e08 矸石堆积到h√(h)=/xJ(x)(x)=0.784x3 所作的功为 (h)=1537x2codx(×10°焦耳) 1度(电)=3.6×10°焦耳 电费0.5元度 电费W(h)=0.0213x2e0a(元) 3.运矸车电费 (1个矸石山)t年后矸石山高度h(t,p)=124.(q)(m) =0210(元)2=1689gy059(9))(万元) 若p=10%,按年度的电费(万元)如下 w(t)8.50 180021.0923.8226.32286430.8332923493 w368638734055423440745774744490850695228 将20年电费按利=2105-m(0=404万元) 率5%折合成现值

  $ 
  !"
 $ O [ [    VLQ    
     


E   

 
           
K

      

 

   [ K
 
 $     
     
   [ K
 
 
         [ K
 &
      
'& 


         &









 '&               
$ 
          

  W W    $ 

     


 
 ()*                W

4.总经费与征地费、电费的比较 总经费(100万元/年 S=100∑1.05-)=1269(万元) ×20年)折合成现值 p-10%,1个矸石山的征地费现值R-816(万元)】R+m p=10%,1个矸石山的电费(现值)W=404(万元)=1220 结论 开始时按10%的出矸率为20年堆积矸石征地 102亩,不足经费向银行贷款,以后每年用当 年经费缴电费并还贷,20年经费刚好够用。 讨论1.引入折扣因子g()=105=c, 简化电费计算(连续化) w(p) 1684 exp(0.59(q)3-0.049)d(万元) 对不同的费用为 出矸率p总电费(万元)征地费(万元)总费用(万元) 2186 628.2 846.8 0.09 330.8 753.7 1084.5 0.10 395.3 814.5 1209.8 0.11 465.7 874.4 1340.1

  
  

 
      

  W W  
$
 
  
$
   

 

 
 ()*               
   W W    
  


 *  
     
 
      
 
 

 

 
 


讨论 2.在一般情况下有“堆积几个矸石山费用最小” 的问题。可用最短路或动态规划等方法解决。 3.据我国“土地法”有关规定,征入后闲置二年 以上的土地将被收回。如把已征入但未堆积矸石 的土地视为闲置,则只能两年征地一次,费用将 大大增加,原有经费不足 4.将原煤理解为包含煤矸石,则在同一出矸率 下出矸量将减少,致使费用减少