清华大学：《数学建模》课程教学资源（讲义）第四章 静态优化模型（姜启源）

第四章静态优化模型 微分法建模 §1存贮模型 §2森林救火 §3最优价格 §4消费者均衡 §5冰山运输 静态优化模型 ·现实世界中普遍存在着优化问题 ·静态优化问题指最优解是数(不是函数) ·建立静态优化模型的关键之一是 根据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法 1




 

§1存贮模型 问题 配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备 要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付贮存费 该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。 今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元, 贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少 天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小 要求不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量 与需求量、准备费、贮存费之间的关系 问题分析与思考日需求100件,生产准备费 5000元,贮存费每日每件1元。 ·每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费 5000元,故每天费用为5000元。 10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800++100 =4500元,准备费5000元,总计9500元。 平均每天费用为950元 50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800++100 =122500元,准备费5000元,总计127500元。 平均每天费用为2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗? 2



 




 
 

   
        

 
   

问题分析与思考 周期短,产量小>贮存费少,准备费多 ·周期长,产量大>准备费少,贮存费多 存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小 这是一个优化问题,关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数—每天岚费用的平均值 模型假设 1.产品每天的需求量为常数r 2每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2; 3.T天生产一次(周期为T),每次生产Q件,且当贮存 量降到零时,Q件产品立即生产出来(生产时间不计); 4.为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。 建模目 设r;,g2已知,求TQ,使每天总费用的平均值最小

 
   
          


模型建立 离散问题连续化 q 将贮存量表示为时间的函数q(t) t=0生产Q件,贮存量q(0)=Q,qt 以需求r的速率递减,直到q(T)=0 Q=rT(1) A=QT/2 周期贮存费 周期 rT ∫qO)=c24总费用 C=c1+ T C 每天总费用平均 C C(T)= c27(2) 值(目标函数) TT crT 模型求解求T使C(T)=+ C 0x今T 2c T Q=rT C 模型分析 c个→70个↑c2↑→7,Q↓r个→79↑ 模型应用 回答问题 c1=5000元,c2=1(元/天件),r=100(件天 T=10(天),Q=1000件),C=1000元)

               


   


  
 
  
 
  

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经济批量订货公式(EOQ公式) 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量r,每次订货费为c1,每天每件贮存费为 T天订货一次(周期T),每次订货Q件,且当贮存量降到 零时,Q件立即到货。 T O=rT 不允许缺货的存贮模型「 问:为什么不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑? 允许缺货的存贮模型」qt 当贮存量降到零时仍有需 求r,出现缺货,造成损失 Q=r71 原模型假设:贮存量降到零时 Q件立即生产出来或立即到货)0TT 现假设:允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足 周期I,tT贮存量降到零 周期 贮存费C2」q()dt=c,A 一周期总费用 周期c、[q(=cp飞=+e9xn(T=7) 缺货费

   

 

  



 
                    

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周期总费用C=c1+c2Q7+c(7-7 平均cr,O)=C=+92+T-Q T arT (目标函数) arT 求T,Q使C(T,Q)→M aC aC ∂⌒ss·?~0为与不允许缺货的存贮模型 相比,T记作T,Q记作Q 2c c+c Cr c T" Q c +C 2c 允许= 不允T 缺货 rC. C. 许缺 模型g= 2cr c 货模 O=rt= C1/ 型 c2+C3 c +c T=uT, Q 不H>1口r>T, O<0C ↑→ 允 许c3少0→4→1r→T,0→Q 缺 货




              

 

         


  

               
 
           

      
 

  






 
     



     

            
 
           

  


允许T=,2c2+c2 rC, C. 缺货 Q 模型 2cr c c. c+c R 注意:缺货需补足 Q是每周期初的存贮量 每周期的生产量R=r= ncrc+c (或订货量)为 R=QQ不允许缺货时的产量(或订货量) §2森林救火 问题森林失火后,要确定派出消防队员的数量。 队员多,森林损失小,救援费用大; 队员少,森林损失大,救援费用小。 综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。 问题记队员人数x,失火时刻=0,开始救火时刻t, 灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t) 损失费f(x)是x的减函数,由烧毁面积B(2)决定 ·救援费f(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定 存在恰当的x使f(对,f(x)之和最小

         
 
          

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间·关键是对B(0作出合理的简化假设 失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2, 画出时刻森林烧毁面积B()的大致图形 B 分析B(比较困难, 转而讨论森林烧毁 B(t,) 速度dB/dt 模型假设 1)0≤≤t1,dB/dt与城成正比,系数β(火势蔓延速度) 2)t1stt2,β降为B-x(入为队员的平均灭火速度) (x)与B(2)成正比,系数c1(烧毁单位面积损失费 4)每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c 火势以失火点为中心 假设1)均匀向四周呈圆形蔓 的解释延,半径r与成正比 B 面积B与t成正比 dBdt与t成正比

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假设1)假设2) b b= Bt,t2 所1 t2=t1+ Ax-B t, t B(2)=」B(lt bt Bt. Bt 222(x-B) 假设3)4)f(x)=cB(t2,f(x)=c2x(t2-t1)+cx 目标函数—总费用C(x)=f(x)+f(x) 目标函数—总费用 B+. c,Bti t, c,Bt,x +cx (x-B)ix-B 其中c,c2,c3,t1,B,为已知参数 模型求解求x使C(x)最小 c2t +2c.t b 0 +B 结果解释·B是火势不继续蔓延的最少队员数

  
                     


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B B A12+2c2t1 C 结果烧毁单位面积损失费c每个队员的单位时 解释间灭火费用c,一次性费用开始救火时刻t 火势蔓延速度β,队员的平均灭火速度λ c1t,B个→x个 ↑→x c2个→x↑为什么? 模型c1c2,已知,t可估计β,可设置一系列数值 应用 由模型决定队员数量x §3最优价格 根据产品成本和市场需求,在产销平 问题 衡条件下确定商品价格,使利润最大 假设1)产量等于销量,记作x 2)收入与销量x成正比,系数p即价格 3)支出与产量x成正比,系数q即成本 4)销量x依于价格p,x(p)是减函数 进一步设x(p bp a, 6>0 建模 收入I(P)=Dx支出C(p)=qx 与求解利润U(P)=1(P)-C(P)求p使Up)最大

     



 
                

   
     

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