《微积分、线性代数》考研知识点解析：第1章 行列式（水木艾迪）

2008春季班 线性代数第1章行列式 第1章行列式 1.1行列式的概念 n阶行列式是一个数,是由n个数排成n行n列 的方阵 12 In 21 2n n nn 所决定的 例如:二阶行列式 1×4-2×3=-2 34 二阶行列式一般的计算公式是 12 22 1× 21 21 22 三阶行列式的计算公式是 12 13 31

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 1 第 1 章 行列式 1.1 行列式的概念 n阶行列式是一个数，是由 个数排成 行 列 的方阵 2 n n n n n nn n n a a a a a a a a a " " " " " " " 1 2 21 22 2 11 12 1 所决定的． 例如：二阶行列式 1 4 2 3 2 3 4 1 2 = × − × = − 二阶行列式一般的计算公式是 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = × − × ． 三阶行列式的计算公式是 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a

2008春季 线性代数第1章行列式 2 u1 12 十a1 13 31 a 在η阶行列式中,去掉元素ln所在的第行和第 j列,剩下的是一个n-1阶行列式,叫做a;的余子 式,记作M 12 13 a21a22@23=a1Mu-a12M22+a13M13 32 记 称A:为a1;的代数余子式 12 13 21 22 23 114111 +a 124112 ta 134113 31 32 12 22 2n a141+a12412+…+a1n41n nI

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 2 31 32 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a = a × − × + × ． 在n阶行列式中，去掉元素aij所在的第i 行和第 j列，剩下的是一个n − 1阶行列式，叫做 的余子 式，记作 aij Mij． 11 11 12 12 13 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a M a M a M a a a a a a a a a = − + 记 ij i j Aij M+ = (−1) 称 Aij为 的代数余子式. aij 11 11 12 12 13 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a A a A a A a a a a a a a a a = + + ． n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = + +"+ " " " " " "

2008春季班 线性代数第1章行列式 例1 00 (x-1)=x2-x 例2 20 02 03 00 n 例3 21 22 0 n2 n 1122 nn

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 3 例 1 x x x x x x x x = = − = −2 ( 1) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ． 例 2 ! 0 0 0 3 0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 n n n = × = " = " " " " " " " " " " " " " " 例 3 nn n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a " " " " " " " " " " " " " " 11 22 2 22 11 1 2 21 22 11 0 0 0 0 = = = ．

2008春季班 线性代数第1章行列式 1.2行列式的性质 行列式的最基本的性质是以下4个: 性质1行列式中行列互换,其值不变 12 13 21 2 31 3 性质2行列式中两行(列)对换,其值变号. 12 13 21 22 23 23 13 31 31 性质3行列式中如果某行(列)元素有公因子,可 以将公因子提到行列式外 3 13 k k ka=k 23 21 23 31 32 31 32 性质4行列式中如果有一行(列)每个元素都由两 个数之和组成,行列式可以拆成两个行列式的和. 12 13 a b 21a2+b 22 23 +b 23

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 4 1.2 行列式的性质 行列式的最基本的性质是以下 4 个： 性质 1 行列式中行列互换，其值不变． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 13 23 33 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a a ． 性质 2 行列式中两行（列）对换，其值变号． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a – 31 32 33 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a ． 性质 3 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可 以将公因子提到行列式外． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a ka ka ka a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a k ． 性质 4 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两 个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和． + + + = 31 32 33 21 21 22 22 23 23 11 12 13 a a a a b a b a b a a a

2008春季班 线性代数第1章行列式 13 12 13 21 +6 b b 21 23 31 32 31 32 由以上四条基本性质,还能推出下面几条性质: 性质5行列式中如果有两行(列)元素对应相等, 则行列式的值为0 性质6行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则行列式的值为0 性质7行列式中如果有一行(列)元素全为0,则 行列式的值为0 性质8行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行 (列),其值不变 例4计算 例5设C1,C2,C3均为3维列向量,记矩阵 152903 B= a +a+ a 2 39 a1+2ay,+4 3 +3a2+903)

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 5 + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a b b b a a a ． 由以上四条基本性质，还能推出下面几条性质： 性质 5 行列式中如果有两行（列）元素对应相等， 则行列式的值为０． 性质 6 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例， 则行列式的值为０． 性质 7 行列式中如果有一行（列）元素全为０，则 行列式的值为０． 性质 8 行列式中某行（列）元素的k 倍加到另一行 （列），其值不变． 例4 计算 n $ 2 1 ． 例5 设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = α1 α 2 α 3 ， 3 9 ) ( , 2 4 , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α α α α α α α α α + + B = + + + +

2008春季班 线性代数第1章行列式 如果A=1,那么B 行列式中常用的公式还有: 1.范德蒙德( andermonde)行列式 2 I(ai-ai I≤j<in n-1 Q n =AB,其中A,B都是方阵 0 B =(-1)mA|B,其中A是n阶方阵, B 0 B是m阶方阵. 上面两个公式还可以推广为: 40 A|B,其中A是n阶方阵,B是m阶 C B 方阵,C是m×n的矩阵 0B/~4B,其中A是刀阶方阵,B是m阶 方阵,C是n×m的矩阵

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 6 如果 A = 1，那么 B = . 行列式中常用的公式还有： 1．范德蒙德 (Vandermonde）行列式 ∏ ≤ < ≤ − − − = − j i n i j n n n n n a a a a a a a a 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 " " " " " " " 2． A B B A = 0 0 ，其中 A,B都是方阵． 3． A B B A mn ( 1) 0 0 = − ，其中 A是n阶方阵， B是m阶方阵． 上面两个公式还可以推广为： 4． A B C B A = 0 ，其中 A是n阶方阵，B是 阶 方阵， m C 是m× n的矩阵． 或 A B B A C = 0 ，其中 A是n阶方阵，B是 阶 方阵， m C 是n× m的矩阵．

2008春季班 线性代数第1章行列式 c A 5 (-1)mAB,其中A是n阶方阵, B O B是m阶方阵,C是n×m的矩阵 =(-1)mAB,其中A是m阶方阵,B 是m阶方阵,C是mXn的矩阵 23 例6计算 49 1827 例7计算 00 例8计算 00b 2

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 7 5． A B B C A mn ( 1) 0 = − ，其中 A是n阶方阵， B是m阶方阵，C 是n× m的矩阵． 或 A B B C A mn ( 1) 0 = − ，其中 A是n阶方阵，B 是m阶方阵，C 是m× n的矩阵． 例 6 计算 1 1 8 27 1 1 4 9 1 1 2 3 1 1 1 1 − − ． 例 7 计算 n n 0 0 1 0 0 0 1 0 " " " " " " " − ． 例 8 计算 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 b a b a a b a b ．

2008春季班 线性代数第1章行列式 1.3行列式的计算 1x+1 例9计算 x+1-1 例10计算n阶行列式 a10 00 100.0 00 n-1 00 01 a, a, b2 a,b3 a, 4 例11计算 1b3 a263 a3b3 a364 b a a, 2 a3b 4 a4b4

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 8 1.3 行列式的计算 例 9 计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − − − − − + − − − x x x x ． 例 10 计算n阶行列式 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 " " " " " " " " " " " n n a a a a − ． 例 11 计算 1 4 2 4 3 4 4 4 1 3 2 3 3 3 3 4 1 2 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ．

2008春季班 线性代数第1章行列式 b 例12计算阶行列式 n 例13计算:20a 1+a 1+ 例14计算 a

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 9 例 12 计算n阶行列式 b b a b a b a b b " " " " " " " ． 例 13 计算： n an a a a n " " " " " " " " " 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2 2 1 0 ． 例 14 计算 n a a a + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 " " " " " " " ．

2008春季班 线性代数第1章行列式 例15证明: 2-10 0 000.1 n+1 000 2 2 例16计算n阶行列式 a+b ab 0bb a+b a 1000 01a+ 0 0 0 tb ab 1 a+b 1.4按行展开定理 行列式按行展开定理包含两部分: (1)n阶行列式

2008 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 10 例 15 证明： 1 0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 = + − − − − − − Dn = n " " " " " " " " " " " 例 16 计算n阶行列式 a b a b ab a b a b ab a b ab + + + + + 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 " " " " " " " " " " " ． 1.4 按行展开定理 行列式按行展开定理包含两部分： （１）n阶行列式