华南师范大学：《MATLAB数值分析实验》课程教学资源（作业习题）实验5 LU分解法求解线性方程组 习题

实验5LU分解法求解线性方程组 1,系数矩阵A的L0分解可用来求矩阵A的逆八。如果矩阵A非奇异，则存在，而 且AA=。设X1,2...,Xn是A的列，而E1,E2、..,En是单位矩阵I的列。 方程A=/可表示为 AX1X2…Xn=[E1E2…En 则上式等价于n个线性方程组 AXI=El,AX2=E2,..AXn=En 这样，求等价于求解n个具有相同系数矩阵的线性方程组。用LU分解法求解，只 需要完成一次三角分解，再求解n个下三角方程组和n个上三角方程组，这种方法比用 高斯消去法求解 个线性方程组节省很多计算 效率更高。 (I)编写用带列选主元过程的LU分解法求解'的MATLAB程序： (2)利用MATLAB内置的Iu函数，再编写前代法和后代法的MATLAB程序求解 A1。 2.利用第1题中的两种方法和MATLAB的反斜杠运算符求解如下矩阵的逆」 「1104 2-150 5212 [-3026 3.(1)分别用以下3种方法求10阶希尔伯特(Hbet)矩阵的逆：第1题中的两种方法 和MATLAB内置的专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb: (2)用MATLAB内置的cond函数计算10阶希尔伯特矩阵的条件数。讨论当A病态 时，第1题求矩阵的逆的方法可靠吗？通过计算A4验证方法的可靠性

实验 5 LU 分解法求解线性方程组 1. 系数矩阵 A 的 LU 分解可用来求矩阵 A 的逆 A -1。 如果矩阵 A 非奇异，则 A -1 存在，而 且 AA-1=I。设 X1, X2, …, Xn 是 A -1 的列，而 E1, E2, …, En 是单位矩阵 I 的列。 方程 AA-1=I 可表示为 A X X Xn E E En [ 1 2 ] [ 1 2 ] = 则上式等价于 n 个线性方程组 AX E AX E AXn En 1 1, 2 2, , = = = 这样，求 A -1 等价于求解 n 个具有相同系数矩阵的线性方程组。用 LU 分解法求解，只 需要完成一次三角分解，再求解 n 个下三角方程组和 n 个上三角方程组，这种方法比用 高斯消去法求解 n 个线性方程组节省很多计算量，效率更高。 （1） 编写用带列选主元过程的 LU 分解法求解 A -1 的 MATLAB 程序； （2） 利用 MATLAB 内置的 lu 函数，再编写前代法和后代法的 MATLAB 程序求解 A -1。 2. 利用第 1 题中的两种方法和 MATLAB 的反斜杠运算符求解如下矩阵的逆。 1 1 0 4 2 1 5 0 5 2 1 2 3 0 2 6 A     − =         − 3. （1）分别用以下 3 种方法求 10 阶希尔伯特（Hilbert）矩阵的逆：第 1 题中的两种方法 和 MATLAB 内置的专门求希尔伯特矩阵的逆的函数 invhilb； （2）用 MATLAB 内置的 cond 函数计算 10 阶希尔伯特矩阵的条件数。讨论当 A 病态 时，第 1 题求矩阵的逆的方法可靠吗？通过计算 AA-1 验证方法的可靠性