华南师范大学：《MATLAB数值分析实验》课程教学资源（讲义）实验3 非线性方程求解

实验3非线性方程求解 1、实验目的 1)掌握常用的非线性方程的求解算法，包括不动点迭代、二分法、试值法、牛 顿法和割线法： 2)并通过数值算例理求根解算法的收敛速度和健壮性。 2、实验内容 1)编程实现二分法、试值法、牛顿法和割线法的MATLAB函数。 2)设fx)=x-x3-2 (1)确定fx)=0实根的有根区间： (2)取合适的初始值或初始区间，用不动点迭代算法、二分法、试值法、 牛顿法和割线法程序分别求出∫(x)0具有10位或以上有效数字的实 根，用MATLAB自带的fzero函数求出的结果计算误差，用tic/toc命 令记录程序运行时间，对每一个求出的实根，填写下表： 方法初始值（区间）计算结果误差迭代次数运行时间误差阶 不动点 二分法 试值法 牛顿法 割线法 3)从上表中可得出什么结论？ 4、实验思考 1)二分法收敛速度慢，但是适用条件简单容易判断；牛顿法收敛速度快但收敛 条件不易判断。能否设计一种混合算法，既保持计算过程的稳健性（不易失效）， 又能够在条件允许的情况下采用更高阶的计算格式

实验 3 非线性方程求解 1、实验目的 1）掌握常用的非线性方程的求解算法，包括不动点迭代、二分法、试值法、牛 顿法和割线法； 2）并通过数值算例理求根解算法的收敛速度和健壮性。 2、实验内容 1）编程实现二分法、试值法、牛顿法和割线法的 MATLAB 函数。 2）设 ( ) 2 3 1 f x = x − x − . （1） 确定 f (x)=0 实根的有根区间； （2） 取合适的初始值或初始区间，用不动点迭代算法、二分法、试值法、 牛顿法和割线法程序分别求出 f (x)=0 具有 10 位或以上有效数字的实 根，用 MATLAB 自带的 fzero 函数求出的结果计算误差，用 tic/toc 命 令记录程序运行时间，对每一个求出的实根，填写下表： 方法 初始值（区间） 计算结果 误差 迭代次数 运行时间 误差阶 不动点 二分法 试值法 牛顿法 割线法 （3） 从上表中可得出什么结论？ 4、实验思考 1）二分法收敛速度慢，但是适用条件简单容易判断；牛顿法收敛速度快但收敛 条件不易判断。能否设计一种混合算法，既保持计算过程的稳健性（不易失效）， 又能够在条件允许的情况下采用更高阶的计算格式

2)MATLAB内置的求根函数fzero的算法逻辑是怎样的？ 5、实验习题 1)结合二分法、试值法、牛顿法和割线法各自的特点，设计一种兼顾健壮性和 收敛速度的混合算法，能够自适应地判断求根函数在给定的初值附近的形态，选 择合适的方法进行求根。 2)一个实心球体浮在水面上，根据阿基米德原理，球体的浮力和球体排出水的 重量相等。令V,=(4/3)πr3为球的体积，V。为球体局部浸入水中时排出水的体积。 在静态平衡的状态下，球的重量和水的浮力相等， PgV=pgVw或sV,=Vw 其中是p球体密度，g是重力加速度，pw是水的密度，s=plp是球体材料的比 重，它决定球体沉入水面的深度。 s0.5 h 如图，球体高度为h部分的体积为V=(π/3)(3rh2-3).假设球体半径为=10cm,密 度为p=0.638,求球体浸入水中的质量为多少？

2）MATLAB 内置的求根函数 fzero 的算法逻辑是怎样的？ 5、实验习题 1）结合二分法、试值法、牛顿法和割线法各自的特点，设计一种兼顾健壮性和 收敛速度的混合算法，能够自适应地判断求根函数在给定的初值附近的形态，选 择合适的方法进行求根。 2）一个实心球体浮在水面上，根据阿基米德原理，球体的浮力和球体排出水的 重量相等。令 Vs = (4/3)πr 3为球的体积，Vω为球体局部浸入水中时排出水的体积。 在静态平衡的状态下，球的重量和水的浮力相等， ρgVs = ρwgVw 或 sVs = Vw 其中是 ρ 球体密度，g 是重力加速度，ρw 是水的密度，s = ρ/ρw 是球体材料的比 重，它决定球体沉入水面的深度。 如图，球体高度为 h 部分的体积为 Vh=(π/3)(3rh2 -h 3 ).假设球体半径为 r=10cm, 密 度为 ρ=0.638，求球体浸入水中的质量为多少？