厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类2011）

第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类,2011年3月) 考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分. 题号一三三四五六七总分 满分15101517161215100 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其他纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 3、如当题空白不够,可写在当页的背面,并标明题号 得分 、(本题共3小题,每小题各5分,共15分)计算下列各 F阅人 题(要求写出重要步骤) (2)lin n→(n+1n+2 n+n (3)已知{x=加+e),求gy 得分 二、(本题10分)求方程 F阅人 (2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0的通解 得分 三、(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内有二阶连 评阅人 续导数,且f(0),f'(0),f"(O)均不为零.证明:存在唯 一组实数k1,k2,k3,使得 kf(h)+k2f(2h)+k3f(3h)-f(0) 得分 评阅人 四、(本题17分)设2:++=1,其中a>b>c>0

∑2:x2=x2+y2,T为∑1和∑2的交线.求椭球面∑在r上各点的切平面到原 点距离的最大值和最小值 得分 评阅人 五、(本题16分)已知S是空间曲线 x2+3y2=1 1z=0 绕y轴旋转 形成的椭球面的上半部分(z≥0)(取上侧),Ⅱ是S在P(x,y,)点处的切平面 p(x,y,z)是原点到切平面的距离,A,,V表示S的正法向的方向余弦 计算:(1) 2)[E(ax+3y+vz)ds 得分 六、(本题12分)设f(x)是在(-∞,+∞)内的可微函数,且 评阅人 f(x)kmf(x),其中0<m<1.任取实数an,定义 an=hf(an1),n=12,…证明:∑(an-an-)绝对收敛 得分 七、(本题15分)是否存在区间[0,21上的连续可微函数 评阅人 满足f(O) 1,If(x)1,f(x)dx≤1?请 说明理由