厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第15届哈尔滨工程大学数学竞赛非专业大一组

哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 考试科目数学竞赛非专业大一组) 1234567 分数 891011 总分 _总分 共15道题,1-3题:每题10分;4-13题:每题12分,总计150分) .设r0存在,且lm吗xx(2=1,求fo0ror(o)的值 ln(1+-)hn(1+ 3.已知区域Dx+y21,计算二重积分∫(++d x<0 4.已知f(x) 求F(x)=「,f()在x≥-1时的表达式 x≥0 5.判断方程 =0(a<a2<…<an)实根个数及分别 属于的区间(注:要求写出过程)。 6.区域Ω:x2+y2+z2≤1z≥0,计算三重积分「(x+x)b 7.已知函数f(u,y)有连续的一阶偏导,且f(1,1)=1f(11)=2,f(1,1)=3, 曲面z=xf(2x-y,3y-2x)在(1,1)点处沿xoy平面上曲线x2+2y2=3 (1,1)点外法线方向上的方向导数 第1页共2页

8.设f(x)在[b上一阶可导,在(ab)内二阶可导,f(a)=f(b)=0, f'(a)f(b)>0,证明 (1)3∈(a,b),使∫()=0; (2)彐n∈(a,b),使∫"(m)=f(m)。 9.已知A(10,0)与B(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为s 求由s及两平面z=0,z=1所围的立体体积。 10.已知L为y=16-x2上从A(-2,0)到B(2,0)顺时针的一段,计算曲线积分 vdx-(x-1)dy 3(x-1)2+4y2 11.求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值 12.计算yz+习+xddy,其中Σ为曲面z=x2+y2 (z≤1)的外侧。 13.已知封闭曲面S的方程为:x|+|y|+|z|=1,其面密度函数 p=x|+|z|+z,求曲面S的重心。 二、附加题(共2道题,每小题15分,注:附加题不计入总分,仅在前13题 所得总分相同时,名次由附加题决定 14.设r=√2+y2+2,Σ为(x-1)2+y2+z2-4的外侧,求 dydz yazd+ zdrdy 15.设w(x)有连续的一阶导数,g(1)=1,且对任意包围坐标原点的分段光滑 的正向闭曲线L,有重2)=A(A为常数),证明对任意上半平面 g(r)+y y>0)内正向分段光滑闭曲线C,有边二=0并求 (x)+y2 第2页共2页