厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）2007年湖南省大学生数学竞赛试题（数学专业类）

湖南省2007年大学生数学竞寨试题(数爭专些 数学分析部分,共00分 (10分)设}表示通项只能取1或-1的序列,-1.2 )证明对任意(∈上1.1,存在序列便得-∑(5分 (2)对于哪些t-1,问题()中的序列{=}是唯一的?44分 (3当I=}时,请写出其表达式(1分) 二,(10分)设数列{a)满足a=1.a、-a+a+一+a,试求 设多项式P(x)有且仅有n个互不相同且大于1的零点,证明 Q)=(2+1P()p(曰)+x《P{x)2+(P(x)2) 至少存在2n-1个互不相同的零点.(10分 .(10分)设/在队+对上连统积分对收徽,试证 C()-1C°e 五,《每小题s分,共10分)设a>0,计算下列积分 (a)/inr'dr 六、(每小题5分。共10分)设(x是R上的连续 =J+u+h,>0 证明。(1)(m)g(也是周期函数,且与f{x)的周期相同 (2}则x)二阶连续可导,且=川s吨A其中 ly-Ju- muxgur-Jtell U(r++x-b)-2/{rl

高等代数部分。共40分 七Il分)计算m阶行列式 八,(第1小题6分,第2小题4分)若A为阶实幂等阵,即满足A2=A.证明 (1)A)=rA) 2)A幂等rA)+k=A)=n 九.《每小题5分,共10分)设A和B分别为mxn和xm的行满秩实矩阵 Q=AB(BB)BA.证明 (1)AA-Q为半正定矩阵,。(20≤Q≤AA 十,(10分)设数域F上的二次多项式∫(2)在F内有互异根x1,22,是数域 F上线性空间L上的一个线性变换,a≠x1,=12,且腐足f(=0,这里为单位 变换.证明x1,n是a的特征值,且L可分解为n1与的特征子空间的直和 :(A)表示矩阵A的迹,rB(A)表示矩阵A的秩,A为矩阵A的转置矩阵