厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第15届哈尔滨工程大学数学竞赛非专业高年级组

哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛 考试科目:数学竞赛非专业高年级组 分数 1011121314 总分 分数 17 分数 总分 (共15道题,每小题10分) 1.已知对任意xy>0有f(xy)=f(x)+f(y)且f(①)=1,求f(x)。 2.设(o)存在,且lm2mnxx(=1,求f(o)f(0)f"o的值。 ln(1+ In(l 3.求极限lm +…+ x<0 4.已知f(x) 求F(x)=了(在x2-1时的表达式 5.判断方程 a2 x-g=0a<a<…<a)实根个数及分别 属于的区间(注:要求写出过程)。 6.已知区域Bx2+y25,计算二重积分』(+)ta 7.区域Ω:x2+y2+2≤,z≥0,计算三重积分(x+2)2hb。 8.已知函数f(x,y)有连续的偏导,且f(,1)=1,f(1,1)=2,∫(1)=3,求曲 第1页共2页

z=xf(2x-y,3y-2x)在(11)点处沿xoy平面上曲线x2+2y2=3在(,1) 点外法线方向上的方向导数 9.设f(x)在[-1上有连续的三阶导数,且f(-1)=0,f(1)=1f(0)=0.证 明:3∈(-1),使∫"()=3 10.设f(x)在[b上一阶可导,在(ab)内二阶可导,f(a)=f(b)=0 f(a)f(b)>0,证明 (1)3∈(a,b),使∫()=0; (2)3n∈(a,b),使∫"(m)=f(m)。 11.已知A(1,0,0)与B(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为s 求由s及两平面z=0,z=1所围的立体体积。 12.已知L为y=16-x2上从A(-2,0)到B(2,0)顺时针的一段,计算曲线积分 7=(xx-(x- 13(x-1+4y 13.求函数z=x2+y2-x2-2xy-y2的极值。 14.计算j1yd+x2b+小计xddy,其中Σ为曲面z=x2+y2(zs1 部分)的外侧。 15.已知封闭曲面S的方程为:|x1+y+|z=1,其面密度函数 p=x+12+1z,求曲面S的重心。 二、附加题(共2道题,每小题15分,注:附加题不计入总分,仅在前15 题所得总分相同时,名次由附加题决定) 16.求微分方程y"+(e"-4x)y"=0的通解。 17.设I=lg+1 (1) 求1 lim/ (2)讨论∑m敛散性。 第2页共2页