厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（大学数学竞赛题选）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类 2011）

第三届全国大学生数学竞赛数学类预赛试卷 (数学类,2011) 本题15分)已知四点A(1,2,7),B(4,3,3),C(5,-1,6),D(√,√7,0).试求过这四 点的球面方程 (本题10分)设f1,f2,…,f为,1上的非负连续函数求证:存在∈阳0,1, 使得 ⅡA()≤I/a)d k=1 k=1 三.(本题15分)设Pm是数域F上的n维列空间,a:P→F是一个线性变 换.若vA∈Mn(F),o(Aa)=Ao(a),(a∈V,证明:σ=idFm,其中A是F中某个 数,ipn表示恒同变换 四.(本题10分)对于△ABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值 五.(本题15分)对于任何实数a,求证存在取值于{-1,1}的数列{an}n21满足 六(本题20分)设4A是数域F上的n阶方阵证明A相似于(B8)其 B是可逆矩阵,C是幂等阵,即存在m使得C"m=0. 七.(本题15分)设F(x)是0.+∞)上单调递减函数,limx→+F(x)=0,且 inx→+sJ~F() sin =dt=0.证明: (i)limx++oo F(r)=0,(i) limx-0Jo F(t) sin(at)dt=0

>$: SAGS%=GS*X=F' (GS* 2011
T￾J 15 
U℄H A(1, 2, 7), B(4, 3, 3),C(5, −1, 6), D( √ 7, √ 7, 0). F8ZH  70 ￾J 10 
 f1, f2, · · ·, fn L [0, 1] ? +RG8\ Y ξ ∈ [0, 1], C Yn k=1 fk(ξ) ≤ Yn k=1 Z 1 0 fk(x)dx. >￾J 15 
 F n EGW F ? n M,)! σ : F n → F n ETOQ < ∀A ∈ Mn(F), σ(Aα) = Aσ(α), (∀α ∈ V ), \1 σ = λ · idF n , 5_ λ E F _2 G idF n DK H￾J 10 
V △ABC, 8 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C a ^ N￾J 15 
V;BG α, 8\ Y9^V {−1, 1} G, {an}n≥1 .` lim n→+∞ Xn k=1 √ n + ak − n 3 2 ! = α. -￾J 20 
 A EGW F ? n #[\1 A PIV  B 0 0 C  , 5_ B E(3&[ C E/Æ[ Y m C C m = 0. 4￾J 15 
 F(x) E [0, +∞) ?"G limx→+∞ F(x) = 0, 6 limx→+∞ R +∞ 0 F(t) sin t n dt = 0. \1 (i) limx→+∞ xF(x) = 0, (ii) limx→0 R +∞ 0 F(t) sin(xt)dt = 0. 1